Secara tradisional, matematika telah dipandang sebagai paradigma pengetahuan tertentu. Euclid mendirikan struktur logika yang luar biasa hampir 2.500 tahun lalu, yang sampai akhir abad kesembilan belas diambil sebagai paradigma untuk mendirikan kebenaran dan kepastian. Newton menggunakan unsur-unsur logika dalam bukunya Principia, dan Spinoza juga menggunakannya dalam bukunya Ethics, untuk memperkuat klaim mereka menjelaskan kebenaran secara sistematis. demikian matematika telah lama dianggap sebagai sumber pengetahuan tertentu yang paling dikenal umat manusia.

Sebelum menanyakan hakikat dari ilmu matematika, pertama-tama perlu mempertimbangkan hakikat  ilmu pengetahuan pada umumnya. Jadi kita mulai dengan pertanyaan, apa itu ilmu pengetahuan? pertanyaan tentang apa itu ilmu pengetahuan merupakan jantung filsafat, dan pengetahuan matematika memainkan peran khusus. Jawaban filosofis standar untuk pertanyaan ini adalah bahwa pengetahuan adalah kepercayaan yang dibenarkan. Lebih tepatnya, bahwa pengetahuan proposisional terdiri dari proposisi yang diterima (yaitu, dipercaya), asalkan ada dasar yang memadai untuk menegaskannya

(Sheffler,; 1965; Chisholm, 1966; Woozley, 1949).

Pengetahuan diklasifikasikan berdasarkan pada pernyataan tersebut. Sebuah Pengetahuan apriori terdiri dari proposisi yang menegaskan berdasarkan alasan saja, tanpa pengamatan dari dunia. Berikut alasan terdiri dari penggunaan logika deduktif dan makna istilah, biasanya dapat ditemukan dalam definisi. Sebaliknya, empiris atau pengetahuan posteriori terdiri dari proposisi yang menjelaskan pada dasar pengalaman, yaitu, berdasarkan pengamatan dunia (Woozley, 1949).

Pengetahuan matematika diklasifikasikan sebagai pengetahuan priori, karena terdiri dari proposisi yang menjelaskan atas dasar alasan saja. Alasan termasuk logika deduktif dan yang digunakan sebagai definisi, hubungannya dengan aksioma matematika atau postulat, adalah sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan matematika. Dengan demikian, pengetahuan dasar matematika yaitu dasar untuk menyatakan kebenaran proposisi matematika, terdiri dari bukti deduktif.

Bukti dari proposisi matematika adalah proposisi terbatas yang memenuhi syarat cukup. Setiap pernyataan adalah aksioma diambil dari yang seperangkat aksioma sebelumnya, atau diperoleh dengan aturan penarikan kesimpulan dari satu atau lebih pernyataan yang terjadi sebelumnya. Istilah ‘aksioma’ dipahami secara luas, adalah pernyataan yang diakui menjadi bukti tanpa demonstrasi. Selain aksioma adalah dalil-dalil dan definisi.

Contohnya adalah pembuktian pernyataan ‘1 + 1 =2’ dalam sistem aksiomatik Peano Aritmatika. Untuk membuktikannya kita memerlukan definisi-definisi dan aksioma –aksioma S0 =1, sl=2, x +0= x, x +sy = s (x + y) dari Peano aritmatika, dan aturan-aturan logika penarikan kesimpulan dari P (r), r=t→P(t);      P (v)→ P (c) (di mana r, t; v; c; dan P (t) kisaran berkala; variable; konstanta; dan proposisi dalam masa t,  dan '→'adalah tanda Implikasi logis) . Berikut ini adalah bukti dari 1 + 1 = 2: x + sy-s (x + y), 1 + sy = s (1 + y), 1 + S0 = s (1 + 0),  x + 0 = x, 1 + 0 = 1, 1 + S0 = s1, S0 = 1, 1 +1 = s1, sl = 2, 1 +1 = 2.

Penjelasan tentang bukti ini adalah sebagai berikut. S0 = 1 [D1] dan s1=2 [D2] adalah definisi dari konstanta 1 dan 2, dalam Peano Aritmatika. x 0 = x [Al] dan         x + sy= s (x + y) [A2] adalah aksioma dari Peano Aritmatika. P (r), r = t→ P (t) [R1] dan P (v) →P (c)[R2], dengan simbol-simbol seperti yang dijelaskan di atas adalah aturan-aturan logika penarikan kesimpulan.

Bukti ini menetapkan '1 + 1 = 2 'sebagai item pengetahuan matematika atau kebenaran, sesuai dengan analisis sebelumnya, yaitu bukti deduktif  legitimasi untuk menjelaskan pernyataan itu. Lebih lanjut, pengetahuan priori, dinyatakan atas dasar alasan saja.

Namun, sesuatu yang belum jelas adalah alasan untuk asumsi yang dibuat dalam pembuktiannya. Asumsi yang dibuat adalah dari dua jenis: asumsi matematis dan logis. Asumsi matematis yang digunakan adalah definisi (D1 dan D2) dan aksioma (Al dan A2). Asumsi logis merupakan aturan-aturan inferensi yang digunakan adalah (R1 dan R2), yang merupakan bagian dari bukti teori yang mendasari, dan sintaks dasar bahasa formal.

Kami menganggap yang pertama asumsi matematis. Definisi- definisi yang eksplisit, yang unproblematic, karena itu eliminable pada prinsipnya. Setiap kejadian dari ketentuan yang ditetapkan 1 dan 2 dapat digantikan oleh sesuatu yang memperpendek (SO dan SSO). Hasil menghilangkan definisi ini adalah bukti disingkat: x + sy = s (x + y), SO + sy = s (SO + y), SO + SO = s (S0+0), x+ 0 = x, SO + O = SO, SO + SO = SSO; yang menunjukkan '1 + 1 = 2 '. Meskipun definisi eksplisit adalah eliminable pada prinsipnya, itu tetap merupakan kenyamanan yang tak diragukan, belum lagi bantuan untuk berpikir, untuk mempertahankannya. Namun, dalam konteks ini kami mengurangi asumsi untuk minimumkannya, untuk mengungkapkan asumsi yang tereduksi pengetahuan matematika dan pembenaran.

Jika definisi belum eksplisit, seperti dalam definisi asli induktif tentang penambahan karya Peano (Heijenoort, 1967), yang diasumsikan di atas sebagai sebuah aksioma, dan bukan sebagai definisi, maka definisi tidak akan eliminable pada prinsipnya. Dalam hal ini masalah dasar definisi, yaitu pada asumsi yang bersandar adalah sama dengan yang aksioma.

Aksioma dalam buktinya tidak eliminable. Mereka harus dianggap baik sebagai kebenaran aksiomatik jelas, atau hanya mempertahankan status dibenarkan, asumsi sementara, diadopsi untuk memungkinkan perkembangan dari teori matematika di bawah pertimbangan. Kami akan kembali ke titik ini.

Asumsi logis, yaitu aturan penarikan kesimpulan (bagian dari bukti teori secara keseluruhan) dan sintaks yang logis, diasumsikan sebagai bagian dari logika yang mendasari, dan merupakan bagian dari mekanisme yang diperlukan untuk penerapan alasan. Jadi logika dianggap sebagai dasar unproblematic untuk pembenaran ilmu pengetahuan.

Singkatnya, kebenaran matematika dasar '1+ 1 =2', tergantung pada pembenaran pembuktian matematis. Hal ini pada gilirannya tergantung pada asumsi sejumlah pernyataan matematika dasar (aksioma), serta pada logika yang mendasari. Secara umum, pengetahuan matematika terdiri dari pernyataan yang dibenarkan oleh bukti, yang tergantung pada aksioma matematika (dan logika yang mendasari).

Penjelasan pengetahuan matematika pada dasarnya telah diterima hampir 2.500 tahun. Awal presentasi pengetahuan matematika, seperti Euclid's Elements, berbeda dari penjelasan di atas hanya oleh derajat. Dalam Euclid, seperti di atas, pengetahuan matematika dibentuk oleh deduksi logis dari teorema dari aksioma dan dalil-dalil (yang termasuk aksioma). Logika yang mendasari tidak ditentukan (selain pernyataan dari beberapa aksioma tentang hubungan kesetaraan). Aksioma yang tidak dianggap sebagai asumsi sementara diadopsi, yang digunakan hanya untuk pembangunan teori berdasarkan pertimbangan. Aksioma yang menjadi dasar kebenaran tidak diperlukan adanya pembenaran (Blanche, 1966). Karena itu, bukti logis mempertahankan kebenaran dan diasumsikan aksioma adalah kebenaran yang jelas, maka setiap teorema yang berasal darinya juga harus kebenaran (alasan ini secara implisit, tidak eksplisit dalam Euclid). Namun, klaim ini tidak lagi diterima karena aksioma Euclid dan postulat tidak dianggap sebagai dasar dan tak terbantahkan kebenaran, tidak satu pun yang dapat menegasikan atau ditolak tanpa menyebabkan kontradiksi. Bahkan, penolakan beberapa dari mereka, terutama Postulat Paralel, hanya mengarah ke tubuh lain pengetahuan geometrik (geometri non-euclidean).

Beyond Euclid, pengetahuan matematika modern mencakup banyak cabang yang bergantung pada asumsi aksioma-aksioma yang tidak dapat diklaim sebagai dasar kebenaran universal, misalnya, aksioma teori group atau teori himpunan (Maddy, 1984).

Filsafat Matematika

Filsafat matematika adalah cabang filsafat yang berujuan untuk merenungkan dan menjelaskan sifat dari matematika. Ini merupakan kasus khusus dari tugas epistemologi yang menjelaskan pengetahuan manusia secara umum. Pertanyaan-pertanyaan yang muncul dalam Filosofi matematika seperti: Apa dasar untuk pengetahuan matematika? Apakah sifat kebenaran matematika? Apa ciri kebenaran matematika? Apa pembenaran untuk pernyataan mereka? Mengapa kebenaran matematika kebenaran yang diperlukan?

Pendekatan secara luas diadopsi oleh epistemologi, adalah untuk menganggap bahwa pengetahuan dalam bidang apapun diwakili oleh satu set proposisi, bersama-sama dengan prosedur untuk memverifikasi atau memberikan pembenaran pada suatu pernyataan. Atas dasar ini, pengetahuan matematika terdiri dari satu set proposisi bersama dengan bukti-buktinya. ketika pembuktian matematika didasarkan pada penarikan kesimpulan saja tanpa dengan data empiris, maka pengetahuan matematika dipahami sebagai pengetahuan yang paling diyakini. Secara tradisional, filsafat matematika adalah untuk memberikan dasar kepastian pengetahuan matematika. Yaitu, menyediakan sistem di mana pengetahuan matematika dapat dibuang secara sistematis dalam membangun kebenarannya. Hal ini tergantung pada asumsi yang diadopsi, yaitu secara implisit atau eksplisit.

Asumsi

Peran filsafat matematika adalah untuk memberikan landasan yang sistematis dan absolut untuk pengetahuan matematika, yaitu dalam nilai kebenaran matematika.

Asumsi ini adalah dasar dari foundationism, doktrin bahwa fungsi filsafat matematika adalah untuk memberikan dasar-dasar tertentu untuk pengetahuan matematika. Pandangan Foundationism terhadap pengetahuan matematika terikat dengan pandangan absolutist, yaitu menganggap bahwa kebenaran matematika adalah mutlak.

Makna Filsafat Pendidikan

Filsafat pendidikan berasal dari dua kata yaitu kata filsafat dan kata pendidikan. Filsafat sendiri berasal dari bahasa yunani “Philos” yang memiliki arti kecintaan dan “sophia" yang memiliki arti kebijaksanaan. Jika diterjemahkan dari dua kata ini, maka filsafat dapat diartikan sebagai kecintaan akan kebijaksanaan. Jika diartikan secara lengkap maka filsafat dapat diartikan sebagai kajian mendalam yang dilakukan terhadap ilmu pengetahuan didasarkan atas kecintaan seseorang terhadap ilmu pengetahuan tersebut.

Jika diterapkan dalam pendidikan, maka lahirlah apa yang disebut dengan filsafat pendidikan yang artinya adalah sebuah ilmu filsafat yang terfokus pada bidang pendidikan. Dalam hal ini, filsafat benar-benar difokuskan di setiap bagian dari bidang pendidikan dari mulai kulit hingga akar-akarnya. Filsafat pendidikan akan membahas ilmu mengenai pendidikan itu sendiri secara mendalam dan meluas di setiap bagian dari ilmu pendidikan.