Constructivism

Para konstruktivis berdiri dalam filsafat matematika dapat ditelusuri kembali setidaknya oleh Kant dan Kronecker (Korner, 1960). Salah satu program para konstruktivis adalah merekonstruksi pengetahuan matematika (dan mereformasi praktek matematika) dalam rangka untuk menjaga dari kehilangan makna, dan dari kontradiksi. Untuk tujuan ini, konstruktivist menolak argumen non-konstruktif seperti bukti Cantor bahwa bilangan real tak terhitung, dan sifat logika dari Law of the Excluded Middle.

Para konstruktivis terpopuler adalah intuitionists LEJ Brouwer (1913) dan Heyting A. (1931, 1956). Baru-baru ini ahli matematika E. Bishop (1967) telah melakukan konstruktivis dengan merekonstruksi sebagian besar Analisis. Berbagai bentuk konstruktivisme masih berkembang saat ini, seperti dalam karya filosofis intuisionis M. Dummett (1973, 1977). Konstruktivisme meliputi berbagai seluruh pandangan yang berbeda, mulai dari ultra-intuitionists (A. Yessenin-Volpin), via what may be termed strict philosophical intuitionists (L.E.J. Brouwer), middle-of-the-road intuitionists (A. Heyting dan awal H Weyl), intuitionists logis modern (A. Troelstra) sedangkan konstruktivis liberal adalah P. Lorenzen, E. Bishop, G. Kreisel dan P. Martin-Lof.

Ahli matematika ini beranggapan bahwa pandangan matematika klasik mungkin tidak aman, untuk itu perlu dibangun kembali dengan mengkonstruktif metode dan penalaran. Konstruktivis menyatakan bahwa kebenaran matematika dan keberadaan objek matematika harus dibentuk dengan metode konstruktif. Ini berarti bahwa tujuan konstruksi matematika adalah untuk mendirikan kebenaran atau keberadaan objek matematika, sebagai lawan untuk metode yang bergantung pada pembuktian dengan kontradiksi. Bagi konstruktivis pengetahuan harus ditetapkan melalui pembuktian konstruktif, berdasarkan logika konstruktivis terbatas, dan makna dari istilah matematika / objek terdiri dari prosedur formal dengan mana mereka dibangun.

Meskipun beberapa konstruktivis berpendapat bahwa matematika adalah studi tentang proses konstruktif yang dilakukan dengan pensil dan kertas, pandangan yang lebih ketat dari intuitionists, dipimpin oleh Brouwer, adalah matematika terjadi terutama dalam pikiran, dan matematika tertulis adalah sekunder. Satu konsekuensi dari hal ini, Brouwer menganggap semua axiomatizations dari logika intuitionistic adalah tidak lengkap. Refleksi selalu dapat menemukan secara intuitif lebih lanjut tentang kebenaran aksioma dalam intuitionistic logika, sehingga tidak pernah dapat dianggap sebagai berada dalam bentuk akhir.

Intuisionisme merupakan filsafat konstruktivis yang paling penuh dirumuskan dari matematika. Dua klaim dari intuisionisme yaitu tesis Dummett positif dan tesis Dummett negatif.

Tesis Dummett positif adalah efek bahwa cara intuitionistic dari construing gagasan matematis dan operasi logis adalah satu koheren dan sah bahwa matematika intuitionistic membentuk tubuh dipahami dari teori. tesis negatif adalah efek bahwa cara klasik construing gagasan matematis dan operasi logis yang koheren dan tidak sah, bahwa matematika klasik, sementara yang mengandung, dalam bentuk terdistorsi, banyak nilai, adalah, bagaimanapun, seperti berdiri dimengerti.

(Dummett, 1977,. Halaman 3 '60).

Di daerah-daerah terbatas di mana terdapat baik klasik dan konstruktivis bukti hasilnya, yang terakhir sering lebih baik sebagai lebih informatif. Sedangkan bukti keberadaan klasik hanya mungkin menunjukkan perlunya logis dari keberadaan, bukti keberadaan konstruktif menunjukkan bagaimana untuk membangun objek matematika yang eksistensinya ditegaskan. Hal ini meminjamkan kekuatan pada tesis positif, buih titik pandang matematika. tentunya, tesis negatif jauh lebih bermasalah, karena tidak hanya gagal ke account untuk tubuh besar matematika klasik non-konstruktif, tetapi juga menyangkal validitasnya. Para konstruktivis tidak menunjukkan bahwa ada masalah tak terelakkan menghadapi matematika klasik atau bahwa hal itu tidak koheren dan tidak valid. Memang klasik matematika baik murni dan diterapkan telah semakin kuat sejak program konstruktivis diajukan. Oleh karena itu, tesis negatif dari intuisionisme ditolak.

Masalah lain untuk tampilan konstruktivis, adalah bahwa beberapa hasil yang tidak konsisten dengan matematika klasik. Jadi, misalnya, kontinum bilangan real, sebagaimana didefinisikan oleh intuitionists, adalah dpt dihitung. Hal ini bertentangan dengan hasil klasik bukan karena ada kontradiksi yang melekat, tapi karena definisi bilangan real berbeda. Konstruktivisme gagasan sering memiliki makna yang berbeda dari konsep-konsep klasik terkait.

Dari perspektif epistemologis, baik tesis positif dan negatif dari intuisionisme adalah cacat. Klaim para intuisi untuk memberikan landasan tertentu dalam  versi mereka kebenaran matematis dengan menurunkan itu (mental) dari intuitif aksioma tertentu, menggunakan metode yang aman secara intuitif. Pandangan ini mahtematical basis pengetahuan secara eksklusif pada keyakinan subjektif. Tapi kebenaran mutlak (yang intuitionists klaim untuk menyediakan) tidak dapat didasarkan pada keyakinan subjektif saja. Juga tidak ada jaminan bahwa intuisi intuitionists berbeda 'kebenaran dasar ini akan bertepatan, karena memang mereka tidak

Jadi tesis positif dari intuisionisme tidak memberikan dasar tertentu bahkan untuk bagian dari pengetahuan matematika. Kritik secara luas menjadi bentuk lain dari  aliran konstruktif  yang juga mengklaim kebenaran dasar matematika konstruktif atas dasar kejelasan asumsi sebagai landasan konstruktivis.
           Tesis negatif dari aliran intuisi, (dan aliran kontruktif ketika memeluk), menyebabkan penolakan dasar pengetahuan matematika diterima, dengan alasan bahwa hal itu tidak dapat dimengerti. Tapi matematika klasik dapat dipahami. Ini berbeda dari matematika  konstruktif yang sebagian besar menggunakan  asumsi sebagai dasarnya. Jadi konstruktivisme punya kesalahan  yang analog dengan jenis kesalahan tipe I dalam statistik, yaitu penolakan terhadap pengetahuan yang valid.