Obyektifitas dalam Matematika

Atas dasar kritik yang kuat terhadap absolutisme, faham falibilitas terhadap pengetahuan matematika diterima. Sementara falibilitas menjadi asumsi pokok konstruktivisme sosial, fakta menunjukkan bahwa objektivitas pengetahuan matematika dan objek matematika adalah ciri matematika yang diterima secara luas, dan dapat dijelaskan peruntukannya oleh filsafat matematika apa pun. Telah ditetapkan bahwa objektivitas dipahami berada di depan umum, kesepakatan intersubjektif, yang itu berarti sosial. Dengan demikian objektivitas matematika berarti bahwa baik pengetahuan maupun obyek matematika memiliki keberadaan otonom atas adanya kesepakatan intersubjektif, dan yang tidak tergantung pada pengetahuan subjektif sembarang individu. Karena itu perlu ditetapkan basis bersama pengetahuan ini, yang memungkinkan publik mengakses ke sana, dan jaminan kesepakatan antar-subjektif padanya. Selanjutnya, diskusi diperlebar untuk objektivitas ontologi matematika, yang merupakan dasar bagi keberadaan otonom objek matematika. Pengarang menganggap bahwa substratum pertama yang menyediakan dasar untuk objektivitas dalam matematika, yaitu bahasa.

Dasar Linguistik dari Objektivitas dalam Matematika

Klaimnya adalah objektivitas pengetahuan matematika didasarkan pada pengetahuan bersama bahasa alami. Penjelasan seperti ini telah disketsakan dalam perlakuan konvensionalisme dalam bahasan sebelumnya. Penjelasan Wittgenstein tentang dasar linguistik untuk logika dan matematika telah disajikan dan dinilai menjanjikan. Akan diargumentasikan bahwa perolehan kompetensi dalam bahasa alami, perlu melibatkan akuisisi yang besar, implisit, bangunan pengetahuan. Bagian dari pengetahuan ini adalah pengetahuan dasar matematika dan penalaran logis, beserta aplikasinya. Komunikasi linguistik memerlukan aturan-aturan dan konvensi-konvensi bahasa – yang mewujudkan makna, adalah dibutuhkan. Kebutuhan bersama ini – tanpa komunikasi yang tidak berarti, adalah dasar dari objektivitas pengetahuan matematika (dan objek). Inilah inti argumen ini.

Ini bukanlah argumen berdasarkan fakta-fakta psikologis atau empiris, melainkan pada alasan logis dan filosofis. Untuk itu, kebenaran – yang pada sembarang sistem pengetahuan logis menjadi deduktif atau definisional, pada akhirnya tergantung pada seperangkat proposisi primitif atau istilah. Sebagai pengetahuan matematika obyektif, proposisi primitif dan istilah-istilah ini dapat ditemukan dalam pengetahuan objektif dari bahasa alami.

Untuk menyempurnakan argumen ini, pertama diperhatikan bahwa secara tradisional, pengetahuan objektif diidentifikasi dengan sekumpulan proposisi atau pernyataan, (atau isi daripadanya), yang secara linguistik menyatakan bangunan pengetahuan. Dalam bab-bab sebelumnya telah dijelaskan bahwa pengetahuan disamping mencakup pengetahuan proposisional yang berupa proses dan prosedur. Namun, ini juga dapat dinyatakan sebagai proposisi. Jadi asumsi dasar bahwa pengetahuan memiliki dasar linguistik tidak perlu dipertanyakan. Ini berarti bahwa pemahaman pengetahuan seperti itu pada dasarnya tergantung pada kompetensi linguistik, sebagaimana sebagian besar kognitif manusia dan aktivitas sosial.

Kompetensi linguistik terdiri dari kemampuan untuk berkomunikasi secara linguistik. Hal ini pada gilirannya tergantung pada penggunaan bersama bentuk-bentuk tata bahasa, hubungan antara istilah, dan penerapan bentuk dan deskripsi situasi, termasuk berbagi makna istilah, setidaknya di publik yang diamati, perilaku yang digunakan. Ini juga tergantung pada, kemampuan untuk saling berhubungan konteks sosial dan bentuk-bentuk diskursus tertentu. Singkatnya, kompetensi linguistik tergantung pada aturan umum bersama, sesuai dengan penggunaan umum.

Kita tidak bisa mempertanyakan kenyataan bahwa ‘A dan B’ memuat ‘A’ atau yang 1 + 1 = 2, tanpa menarik beberapa kemungkinan komunikasi. Kita hanya bisa mendapatkan sekitar ini sementara, dengan mengelilingi domain kecil pemakaian bahasa, dan mengungkapkan dan mempertanyakan beberapa aturan yang mengatur penggunaannya. Kita mungkin ‘membekukan’ dan dengan demikian menunda beberapa peraturan untuk membedah mereka. Tapi dalam permainan bahasa lainnya, termasuk meta-bahasa kita, aturan ini tetap berlaku. Dan ketika inquiri kita bergerak, aturan-aturan menjadi dianimasi kembali, dan reasumsi kepastian kehidupan mereka.

Ini adalah argumentasi umum untuk perlunya peraturan yang terkait dengan penggunaan bahasa. Mengkodifikasi aturan-aturan ini bersama perilaku linguistik yang memungkinkan kemungkinan komunikasi. Secara rinci, aturan-aturan ini tergantung pada syarat-syarat tertentu dan aturan-aturan logika matematika dan tertanam dalam bahasa kita.

Bahasa alamiah kita memuat matematika informal sebagai bagian, termasuk istilah-istilah seperti ‘persegi’, ‘lingkaran’, ‘bentuk’, ‘nol’, ‘satu’, ‘dua’, ‘bilangan’ , ‘jumlah’, ‘kurang’, ‘lebih besar’, ‘sama dengan’, ‘himpunan’, ‘anggota’, ‘tak hingga’ dan sebagainya. Beberapa istilah-istilah ini dapat diterapkan secara langsung pada dunia berbagi pengalaman kita, dan bahasa alami termasuk aturan-aturan dan kesepakatan-kesepakatan tentang cara menerapkan istilah. Dalam pengertian ini, istilah-istilah ini mirip dengan ilmu pengetahuan, untuk istilah dasar yang mereka pelajari bersama. istilah-istilah tersebut memungkinkan kita untuk menggambarkan kejadian dan benda-benda di dunia dengan klasifikasi dan kuantifikasi. Interpretasi matematika informal yang dimaksudkan, seperti ini, adalah tersirat dalam arti kata (semantik) bahasa alam (yang sering menyediakan beberapa makna bagi istilah-istilah ini). Selain itu, saling keterkaitan antara istilah yang ditegaskan oleh kesepakatan dan aturan bahasa. Sebagai contoh, ‘satu kurang dari dua’ dan ‘himpunan tak hingga mempunyai lebih dari dua anggota’ keduanya dijamin pada dasar aturan semantik bahasa. Seperti telah disebutkan, aplikasi dasar matematika juga dibangun ke dalam aturan penggunaan bahasa. Kehadiran kedua jenis aturan, yang terkait dengan interkoneksi istilah dan aplikasi yang mereka peruntukkan di dunia, menjelaskan banyak pengetahuan matematika implisit yang tidak kita sadari perolehannya dengan kompetensi linguistik.

Penjelasan ini terlalu disederhanakan dalam satu pengertian. Sebab tampaknya mengasumsikan satu dunia luar. Kenyataannya, ada banyak wilayah wacana linguistik yang tumpang tindih, banyak permainan bahasa, masing-masing dengan referensi dunia bersama mereka sendiri. Beberapa berhubungan dengan apa yang secara sosial diterima oleh mayoritas sebagai realitas objektif, yang lain kurang begitu, dan beberapa seluruhnya fungsional atau mitologis. Masing-masing berisi teori informal, seperangkat hubungan antara entitas yang mendiami mereka. Apa yang mereka berbagi semua adalah kesepakatan sosial pada aturan-aturan yang berkaitan dengan wacana tentang mereka.

Banyak ucapan-ucapan bahasa kita, apapun ‘permainan bahasa’ yang terlibat dalamnya, adalah penuh dengan konsep-konsep matematika, atau sangat ‘mathematized’ (Davis dan Hersh, 1986). Sebagai contoh dari pengakaran matematika dalam penggunaan bahasa setiap hari, perhatikan pertanyaan Zen ‘Apa bunyi tepukan satu tangan?’ Hal ini didasarkan pada pengetahuan linguistik bahwa dibutuhkan dua tangan untuk bertepuk tangan, satu adalah setengah dari dua, tapi setengah dari jumlah tangan tidak memberikan setengah dari jumlah suara dengan dua tangan (fokusnya di sini pada konten matematika, dan bukan tujuan dari teka-teki yang melalui tantangan kognitif ke rangsangan satori). Secara keseluruhan, saya ingin mengklaim bahwa bahasa alami seperti bahasa Inggris (dan Jepang, tampaknya), dan bahkan jadi bahasa matematika informal, kaya dengan aturan matematika implisit, makna dan konvensi. Aturan-aturan ini, seperti ‘dua adalah kelanjutan dari satu’, mengharuskan diterimanya kebenaran, seperti ‘1 + 1 = 2’.

Dasar Linguistik dari Logika

Hal yang sama dapat dikatakan untuk logika dalam bahasa. Penggunaan istilah-istilah logika kunci seperti ‘tidak’, ‘dan’, ‘atau’, ‘berimplikasi’, ‘jika dan hanya jika’, ‘memuat’, ‘terdapat’, ‘untuk semua’, ‘adalah’, dan seterusnya, secara ketat mengikuti aturan-aturan linguistik. (Kita mengabaikan inkonsistensi variasi sehari-hari seperti ‘tidak-tidak = tidak, yang ditolak oleh matematika dan logika). Aturan-aturan ini tetap sebagaimana kebenaran pernyataan dasar seperti ‘Jika A, maka A atau B’, dan aturan-aturan inferensi seperti ‘A’ dan ‘A berimplikasi B’ bersama-sama berarti ‘B’. Aturan-aturan ini mencerminkan penggunaan istilah tersebut, dan maknanya (menurut Wittgenstein). Aturan dan kesepakatan logika yang mendukung lebih dari sekadar ‘kebenaran’ dari logika. Sebagaimana telah kita lihat, mereka juga mendukung hubungan logis, termasuk implikasi dan kontradiksi. Jadi penalaran, dan memang, seluruh dasar argumen rasional, berpijak pada aturan-aturan bersama bahasa.

Bentuk-bentuk yang lebih abstrak dan kuat dari logika yang digunakan dalam matematika, juga berada pada logika yang tertanam dalam penggunaan bahasa alamiah. Namun, aturan-aturan dan makna logika matematika menyatakan versi terformalkan dan penghalusan logika ini. Mereka memperbaiki sebuah eratan himpunan permainan bahasa yang tumpang tindih dengan logika bahasa alami.

Dasar Linguistik Mengakomodasi Perubahan Konseptual

Telah dikemukakan, pada alasan convetionalist bahwa pengetahuan matematika sehari-hari adalah pengetahuan linguistik, dan aman terhadap kebutuhan nyata dari keteraturan dan penggunaan bahasa. Tapi sementara konvensi linguistik memberikan pengetahuan matematika sehari-hari dengan landasan aman, demikian juga ia menyediakan alasan untuk perubahan dalam matematika, seperti konvensi dan penggunaan linguistik berkembang dari waktu ke waktu.

Sejak zaman dahulu sudah tak terbayangkan untuk mempertanyakan fakta dasar ‘1 + 1 = 2’ (lihat Restivo, 1984, di ‘2 + 2 = 4’). Namun sejak zaman George Boole kita dapat menegaskan fakta yang kontradiktif ‘1 + 1 = 1’. Hal ini dapat bergabung kembali bahwa ini hanya karena Boole telah menciptakan sebuah sistem yang formal memberikan arti yang berbeda terhadap simbol-simbol. Hal ini benar, tapi kenyataan tetap bahwa ‘1 + 1 = 1’ tidak salah, dan bahwa ‘1 + 1 = 2’ tidak lagi mutlak benar. Memang benar diberikan pengandaian tertentu (yang memang tertanam dalam bahasa alamiah kita), ketika konflik muncul, perlu dibuat eksplisit. Landasan awal aljabar Boolean mempertanyakan ‘1 + 1 = 2’ mungkin sederhana dan tidak koheren. Perubahan yang sesungguhnya, berada di belakang layar. Ini terletak dalam kenyataan bahwa kita dapat menangguhkan peraturan kita sehari-hari untuk bagian-bagian dari bahasa, dan mempertimbangkan konsekuensi dari konvensi hipotetis, yakni yang pertentangan atau perbedaan dari yang tertanam dalam penggunaan bahasa alamiah. Ini adalah perubahan yang oleh Russell untuk mengklaim sebagai matematika murni yang berorientasi pada Boole. Apakah ini berarti bahwa makna tunggal (unique) dari matematika telah hilang? Sebaliknya, itu berarti bahwa kita telah menambahkan permainan bahasa baru yang lebih abstrak, untuk yang berkaitan dengan bagian matematika dari bahasa alam.

Gagasan cakupan permainan bahasa yang meliputi bagian matematika dari bahasa alami memungkinkan keberatan yang akan dihadapi untuk dipilah. Ini menyangkut klaim bahwa ketika dasar dari pengetahuan matematika dan logika adalah melekat pada bahasa alamiah yang digunakan, maka semua pengetahuan matematika harus melekat dalam bahasa alamiah. Tapi ini jelas salah, satu-satunya kesimpulan yang sah dari premis tentang jumlah semua pengetahuan matematika yang merupakan dasar, dan bukan keseluruhan itu sendiri, adalah melekat pada pemakaian bahasa. Dengan dasar ini, semakin banyak permainan bahasa baru yang membentuk makna matematis dan pengetahuan, dapat (dan akan) dikembangkan, tanpa mengharuskan pembesaran yang sesuai dasar linguistik. Untuk wacana matematika formal dan informal khusus, dapat diperbesar yang bersandar pada dasar bahasa alami yang sama.

Pengetahuan matematika yang tertanam dalam penggunaan bahasa menyediakan dasar untuk pengetahuan matematis informal (dan akhirnya formal). Makna dan aturan-aturan yang terkandung dalam pengetahuan ini dapat digambarkan dalam bentuk serangkaian permainan bahasa. Permainan ini memberikan dasar lebih jauh, permainan bahasa yang lebih halus, yang abstrak, memperbaiki, memperluas dan mengembangkan aturan dan makna. Jadi hirarki yang longgar dapat disimpan, dengan pengetahuan matematika yang tertanam dalam bahasa alami, yang memperbaiki dasar. Pada ini membangun serangkaian permainan bahasa, membentuk pengetahuan matematika secara informal dan pada akhirnya secara formal. Di ujung hierarki, sistem matematika informal menjadi terformalkan ke dalam teori teraksiomatik. Pada tingkat ini aturan permainan atau sistem menjadi hampir sepenuhnya eksplisit. Dengan cara ini pengetahuan matematika yang implisit dalam bahasa memberikan dasar untuk semua pengetahuan matematika. Kebenaran yang terkandung di dalamnya dan dipercayakan oleh penggunaan bahasa tercermin meningkatkan hirarki untuk membenarkan asumsi-asumsi dasar yang diadopsi dalam matematika. Hal yang sama berlaku bagi asumsi dan aturan-aturan logika. Pada bagian berikutnya kita akan membahas peran asumsi semacam itu, dalam pembenaran pengetahuan matematika.

Pada bagian ini kita telah melihat bahwa konvensi dan penggunaan linguistik memberikan pengetahuan matematika dengan aman. Demikian pula, ia menyediakan dasar untuk muatan dalam matematika, seperti konvensi dan penggunaan linguistik berkembang dari waktu ke waktu. Matematika, seperti pengetahuan alam lain pada dasarnya tergantung pada asumsi linguistik. Fallibilism memaksa kita untuk mengakui keberadaan mereka, serta perubahan sifat mereka, di atas perjalanan waktu.