Pertanyaan ini
bisa dianalisis dalam dua bagian, yang terkait dengan keberadaan dan keunikan
struktur hirarkis untuk matematika. Sehingga kita memiliki dua pertanyaan
cabang: apakah keseluruhan struktur hirarkis pengetahuan matematika ada? Dan
jika demikian, apakah ini merupakan struktur hirarkis yang unik dan pasti?
Hirarki bisa didefinisikan bagi badan
pengatahuan matematika dengan keseluruhan struktur. Baik ini merupakan struktur
aksiomatik, berdasarkan aksioma dan aturan interferensi, atau struktur
definisional, berdasarkan istilah primitif dan selanjutnya istilah yang
didefinisikan lalu hirarki yang dapat didefinisikan. Tanda primitif dari
hirarki (aksioma atau istilah primitif) terdiri dari level terendah (0).
Sekarang ekspresi E lainnya dalam struktur bisa dicapai dalam beberapa jumlah minimum
n dari aplikasi aturan (aturan
interferensi atau definisi) dari tanda level 0. Jumlah n ini mendefinisikan level tanda E dalam hirarki. Sehingga setiap tanda ditunjuk pada level unik
dalam hirarki. Sehingga badan pengetahuan matematika bisa menjadi bentuk hirarkis
resmi yang menetapkan sistem atau struktur matematika tunggal, yang dihubungkan
oleh hubungan inferensial atau definisional. Hubungan inferensial adalah yang
paling tepat untuk dipertimbangkan, karena menunjukkan hubungan justificatory antara dalil dan rumus
matematika, yang memberikan struktur teori aksiomatik deduktif.
Dengan menggunakan perbedaan antara
level formal, informal dan tulisan sosial dari matematika, kita melihat bahwa
untuk teori matematika formal yang tepat, hirarki bisa didefinisikan. Sebagai
kenyataan penyelidikan matematis informal, hal ini mungkin tidak mungkin
dilakukan. Untuk dasar aksiomatik mungkin tidak akan ditetapkan sepenuhnya, dan
hubungan logis antara dalil matematika informal mungkin tidak dibuat dengan
meyakinkan. Maka berikut ini kita akan fokus hanya pada teori matematika
formal, atau teori matematika informal yang siap untuk diformalkan. Sebaliknya
untuk kondisi penciptaan hirarki mungkin tidak akuntansi terpenuhi.
Sekarang kita siap memperhatikan dua
pertanyaan. Pertama: apakah semua struktur hirarkis pengetahuan matematika ada?
Kita telah melihat bahwa untuk semua teori matematika formal, dengan sekumpulan
aksioma tetap, maka ada struktur hirarkis, pilihan aksioma, bersamaan dengan
spesifikasi aturan interferensi dan latar belakang bahasa formal, menentukan
teori matematika hirarkis. Namun, matematika dibentuk oleh banyak teori yang
berbeda, kebanyakan memiliki formulasi aksiomatik yang berbeda. Aksiomatik
menetapkan teori misalnya, memiliki sejumlah aksiomatisasi yang cukup berbeda
seperti teori Zermelo-Fraenkel dan Teori Godel-Bernays-von-Neuman (Kneebone,
1963). Di luar itu, banyak ahli matematika selanjutnya mengubah teori himpunan
aksiomatik yang mereka pelajari dengan menambahkan aksioma lanjut (Jech, 1971;
Maddy, 1984)
Akibatnya, tidak ada keseluruhan
struktur bagi matematika formal, karena ini terbentuk dari banyak sekali teori
yang berbeda dan pembentukan teori, semuanya dengan struktur dan hirarkinya
sendiri. Selanjutnya, sebenarnya setiap satu dari teori aksioma ini tidaklah
lengkap, menurut Godel (1931). Maka ada kebenaran teori yang tidak memiliki
tempat dalam hirarki deduktif. Seperti yang kita tahu dalam bab sebelumnya,
usaha yang dilakukan oleh beberapa ahli matematika hebat dari abad ini untuk menciptakan
pengetahuan matematika dalam sistem fondasi tunggal dimana logicist, formalist
atau intuitionist, semuanya gagal. Sehingga hasil dari meta-matematika
mendorong kita untuk memahami bahwa matematika dibentuk oleh teori
keserberagaman yang berbeda, dimana hal ini tidak bisa diturunkan pada sistem
tunggal, dan tidak ada dari teori ini yang cukup untuk menangkap semua
kebenaran bahkan dalam domain aplikasi yang terbatas.
Hal ini diikuti oleh pertanyaan
mengenai keberadaan seluruh hirarki matematika yang harus dijawab dalam bentuk
negatif. Ini tidak bisa ditarik kembali. Namun kita harus mempertimbangkan
pertanyaan yang lebih lemah. Apakah struktur matematika informal yang luas dan
komprehensif ada, bahkan jika tidak berhasil memenuhi kriteria ketat yang
diperlukan untuk memberikan struktur ambigu pada matematika? Struktur ini bisa
ditemukan dalam elemen Bourbaki (Kneebone, 1963). Bourbaki memberikan
penjelasan matematika sistematik, dimulai dengan menetapkan teori, dan
mengembangkan satu setelah muncul teori murni, matematika struktural. Meskipun
struktur Bourbaki yang tidak bisa dikatakan lengkap (dalam pengertian
informal), karena meninggalkan aspek computasional dan rekursif dari
matematika, maka hal ini menunjukkan kodifikasi informal dari porsi substansial
matematika. Apakah hal ini memberikan jawaban positif pada pertanyaan lemah?
Jika kita mengatakan iya, maka keberatan berikut harus dipikirkan:
- porsi signifikan dari pengetahuan matematis
diabaikan;
- sistem tidak begitu baik secara formal yang memungkinkan
hirarki tetap dari pengetahuan matematis dihasilkan;
- sistem keseluruhan tergantung pada asumsi teori
klasik sebagai fondasi matematika;
- seluruh sistem terikat dalam hal budaya,
mencerminkan strukturalisme abad pertengahan duapuluh.
Maka hanya dalam
bentuk yang sangat lemah kita bisa menyatakan bahwa ada seluruh struktur pada
bagian signifikan dari matematika.
Pertanyaan kedua adalah sebagai
berikut. Dengan asumsi bahwa ada struktur keseluruhan pada pengetahuan
matematika, apakah ini merupakan struktur tetap dan unik dimana hirarki bisa
didasarkan? Pertanyaan ini memiliki dua bagian. Pertama terkait dengan keunikan
struktur matematika. Kita telah melihat bahwa bagian kedua ini tidak dapat
dipertahankan. Bahkan jika struktur yang diberikan oleh Bourbaki diakui sebagai
struktur yang unik, informal dan tidak memadai bagi definisi hirarki yang
tepat. Maka dalam pegertian yang tegas, kita bisa mengakui bahwa tidak ada
hirarki unik pada matematika.
Namun mari kita kembali pada keunikan
struktur matematika. Keunikan ini tergantung pada persetujuan seperti pada
fondasi matematika, Bourbaki mengasumsikan serangkaian fondasi teoritis. Dengan
mengabaikan perbedaan antara teori bisakah teori yang memberikan keunikan
menyetujui dasar bagi matematika? Pertanyaan ini harus dijawab dalam bentuk
negatif. Kita telah melihat bahwa Foundationist mengklaim bahwa matematika
berada dalam kegagalan fondasi yang unik. Paling tidak dua alternatif pada
fondasi teoritis dalam matematika ada. Pertama, telah diklaim bahwa Teori Kategori
bisa memberikan dasar alternatif matematika, dalam tempat teori himpunan
(Lawvere, 1966). Klaim ini belum sepenuhnya dibenarkan, namun meski demikian
ini merupakan tantangan bagi keunikan fondasi teoritik himpunan. Ada cabang
teori kategori (teori Topos) yang kedua-duanya logika intuisi dan klasik dapat
diturunkan (Bell, 1981). Karena teori himpunan dapat ditunjukkan dalam logika
klasik urutan pertama, maka bisa diturunkan untuk teori kategori.
Kedua, logika intuisionis memberikan
fondasi bagi matematika. Meskipun tidak semua matematika bisa ditunjukkan dalam
kaitannya dengan basis ini, sebagian besar dari program telah direalisasikan
untuk analisis, oleh Bishop (1967) dan yang lainnya. Oleh karena itu logika
intuisionist mengakomodir matematika combinatioral,
tidak seperti fondasi teoriti himpunan dari matematika klasik. Sehingga dalam
basis dua argumen ini, klaim bahwa ada struktur unik pada matematika disangkal.
Kenyataannya, sejarah matematika
mengajarkan pada kita pelajaran yang berlawanan. Dalam keseluruhan perkembangan
perubahan matematika melalui restrukturisasi fundamental dari konsep
matematika, teori dan pengetahuan (Lakatos, 1976). Sehingga meskipun struktur
memainkan peran sentral dalm pengatyran pengetahuan matematika, mereka
merupakan struktur ganda yang membentuk, membubarkan dan mereformasi sejalannya
waktu. Tidak ada dasar untuk mengasumsikan bahwa proses ini mungkin akan
berhenti, atau dengan asumsi bahwa teori alternatif dan reformulasi akan
melelahkan. Pandangan semacam ini sangatlah penting bagi konstruktivisme
sosial, dan bagi filosofi matematika lain yang mengakui dasar historisnya.
Sehingga benar bahwa pada satu waktu matematika bisa digambarkan dengan
struktur hirarkis tunggal yang unik, serta kapanpun ketika struktur menunjukkan
perubahan dan berkembang.
Dalam menyangkal klaim bahwa
matematika memiliki struktur hirarkis yang unik, perhatian telah dibatasi pada
logika, yang merupakan struktur teori
matematika deduktif. Seperti yang sudah kita lihat hirarki bisa didefinisikan
dengan cara lain, khususnya sebagai hirarki istilah dan definisi. Ketika hal
ini tidak begitu signifikan dalam matematika sebagai struktur deduktif, argumen
yang sama bisa diubah pada bidang ini. Untuk struktur deduktif dari sebarang
teori yang membawa hirarki definisi, dan hampir seperti banyak struktur
definisional yang ada sebagai sesuatu yang deduktif. Sehingga tidak ada hirarki
yang unik dari definisi. Hirarki global sedang digunakan dalam matematika.
Dalam teori individu atau domain beberapa hirarki tentunya hal ini tidak ada,
seperti derajat Turing (tidak bisa dipecahkan) dalam teori rekursi (Bell dan Machover, 1977).
Namun hal ini tidak memiliki struktur bahkan dalam pecahan signifikan dari
pengetahuan matematika. Maka bisa dinyatakan dengan tegas bahwa matematika
tidak memiliki seluruh struktur hirarkis, dan tentunya bukanlah sesuatu yang
unik, bahkan ketika klaim diinterpretasikan dengan baik dan bebas.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar