Kekeliruan aliran absolut

Kita telah melihat bahwa sejumlah filsuf matematika absolut telah gagal untuk menetapkan kebutuhan logis dari pengetahuan matematika. Masing-masing dari tiga kelompok pemikiran baik logicism, formalisme dan intuisionisme (bentuk yang paling jelas diucapkan konstruktivisme) berupaya untuk menyediakan dasar yang kuat untuk kebenaran matematis,  dengan bukti matematika dari suatu wilayah terbatas tapi tepat untuk kebenaran. Dalam setiap kasus ada yang meletakkan dasar yang aman untuk kebenaran mutlak. Untuk logicists, formalis dan intuitionists ini terdiri dari aksioma logika, secara intuitif tertentu dari prinsip-prinsip meta-matematika, dan aksioma jelas dari 'intuisi primordial', masing-masing . Masing-masing  aksioma atau prinsip-prinsip diasumsikan tanpa demonstrasi. Selanjutnya masing-masing tetap terbuka untuk  didiskusikan, untuk menghilagkan  keraguan. 

Selanjutnya masing-masing kelompok ini menggunakan logika deduktif untuk membuktikan kebenaran teorema matematika dari dasar yang telah diasumsikan mereka. Akibatnya ketiga kelompok pemikiran gagal untuk menetapkan kepastian yang mutlak tentang kebenaran matematika. Untuk logika deduktif hanya menyalurkan kebenaran, tidak memasukkan kebenaran, dan kesimpulan dari pembuktian logis sangat lemah.
            Dapat dikatakan bahwa upaya ketiga kelompok  juga gagal untuk memberikan landasan untuk  sepenuhnya  kebenaran matematis dengan cara ini. Untuk  menunjukkan ketidaklengkapan  teorema pertama Godel, bukti ini tidak cukup untuk menunjukkan kebenaran semua. Jadi ada kebenaran matematika tidak ditangkap oleh sistem kelompok  ini.
              Kenyataan bahwa tiga kelompok pemikiran dalam filsafat matematika telah gagal untuk menetapkan kepastian pengetahuan matematika dan  tidak menyelesaikan masalah umum. Masih mungkin untuk alasan lain yang akan ditemukan untuk menegaskan kepastian kebenaran matematika. Kebenaran absolute dalam matematika masih kemungkinan.

Namun kemungkinan ini ditolak oleh argumen umum yang  sesuai untuk status kepastian  kebenaran matematika. Ini mirip argumen umum yang digunakan di atas untuk mengkritik tiga kelompok, karena mereka semua mengandalkan sistem deduktif.
             Lakatos (1962) menunjukkan bahwa pencarian akan kepastian dalam matematika pasti mengarah ke lingkaran setan. Setiap sistem matematik tergantung pada seperangkat asumsi, dan mencoba membangun kepastian  dengan membuktikannya, mengarah ke regresi tak terbatas.
Tidak ada cara pemakaian asumsi. Tanpa bukti, asumsi tetap berkeyakinan keliru, dan tidak pengetahuan tertentu. Semua kita lakukan adalah untuk meminimalkan kekeliruan itu, dapatdikurangi  satu set aksioma , yang mana  kita harus terima dengan baik  tanpa bukti, sehingga  lingkaran setan dapat dieliminir. Penggantian  di sirkuit lebih lanjut dari lingkaran setan.  Mengurangi serangkain aksioma hanya dapat ditiadakan dengan asumsi paling sedikit punya kekuatan yang sama. Jadi kita tidak dapat menentukan kepastian matematika tanpa membuat asumsi, yang berakibat gagal menjadi kepastian yang mutlak.
             Perlu dipahami bahwa argumen ini ditujukan sebagai keseluruhan pengetahuan matematika, dan tidak dibingkai untuk sistem  tunggal atau bahasa formal. Banyak usaha untuk memberikan landasan untuk matematika dalam bahasa seperti mengelola untuk mengurangi asumsi dalam sistem resmi atau bahasa. Apa yang telah dilakukan dalam kasus seperti itu adalah mendorong beberapa atau semua asumsi dasar ke dalam meta-bahasa, seperti  strategi eksplisit dari formalis. Kapanpun dan dimanapun harus memperkenalkan kebenaran ke dalam sistem, dan mendeduktifkan  semua teorema dari sistem (yang disediakan sistem tersebut aman, yaitu, konsisten).

Lakatos mengatakan, kita harus mengakui bahwa meta-matematika          tidak menghentikan kemunduran infinitif dalam bukti-bukti yang sekarang muncul kembali dalam hirarki yang tak terbatas atas pengayaan meta-teori.             (Lakatos, 1978, page22)

Kebenaran matematika  akhirnya tergantung pada tereduksinya seperangkat asumsi, yang diadopsi tanpa demonstrasi tetapi untuk kualitas pengetahuan yang benar., asumsi memerlukan petunjuk untuk pernyataan mereka. Tidak ada petunjuk berlaku untuk pengetahuan matematika selain demonstrasi atau bukti. untuk itu asumsi adalah keyakinan, bukan pengetahuan, dan tetap terbuka untuk diperdebatkan, untuk menepis  keraguan.

              Ini adalah argumen tengah melawan kemungkinan dalam pengetahuan matematika. Secara langsung bertentangan dengan klaim kelompok  pemikiran mendasar absolutis. Diluar kelompok foundationist, itu dianggap sebagai sangkalan terjawab absolutisme oleh beberapa penulis.

             Titik pandang kebenaran mutlak harus dibuang. Kenyataannya,  'dari setiap cabang matematika murni harus diakui sebagai asumsi  (' postulat atau aksioma), atau definisi atau teorema ... . Paling yang dapat diklaim adalah bahwa jika dalil-dalil adalah benar dan definisi diterima, dan jika metode penalaran yang sehat, maka teorema adalah benar. dalam kata lain, kita sampai pada konsep kebenaran relatif (dari dalil dalam kaitannya dengan postulat, definisi, dan penalaran logis) untuk menggantikan titik pandang kebenaran mutlak (Stabler, 1955, page24).

              Yang kita sebut matematika murni adalah sistem hypothetico-deduktif. Aksioma-aksiomanya  digunakan sebagai hyphotheses atau asumsi-asumsi, yang  menyiratkan sebagai proposisi (Nagel Cohen, 1963)

              Kami hanya dapat menggambarkan aritmatika, yaitu, menemukan aturan-aturannya, tidak memberikan dasar bagi mereka. Dasar tersebut tidak bisa memuaskan kita, karena alasan yang  kadang-kadang harus diakhiri dan kemudian merujuk kepada sesuatu yang tidak bisa didirikan lagi. Hanya konvensi tersebut adalah yang paling tinggi. Segala sesuatu yang tampak seperti sebuah yayasan, terus terang, sudah dicampur dan tidak boleh memuaskan kita.  (Waisman, 1951)

                Pernyataan atau proposisi atau teori mungkin dirumuskan dalam pernyataan yang mungkin benar dan kebenaran mereka dapat dikurangi, dengan cara derivasi dengan proposisi primaritive. Upaya untuk membangun (bukan mengurangi) dengan ini berarti kebenaran mereka mengarah pada kemunduran yang tak terbatas. (Popper, 1979)

Kritik di atas ditujukan pada  pandangan absolutis matematika. Namun, adalah mungkin untuk menerima kritik tanpa mengadopsi filsafat fallibilist matematika. Untuk itu adalah mungkin untuk menerima bentuk-deductivism hypothetico yang menyangkal corrigibility untuk kesalahan mendalam dalam matematika. Seperti terlihat posisi aksioma hanya sebagai hipotesis dari mana teorema matematika secara logis menyimpulkan, dan relatif terhadap yang teorema yang tertentu. dengan kata lain, meskipun aksioma matematika adalah tentatif, logis dan penggunaan logika untuk mendapatkan teorema dari aksioma untuk pengembangan matematika, meskipun dari dasar seperti dugaan.

Ini melemah dari posisi absolut menyerupai Russl dalam strategi penerapan aksioma jika-maka baik tanpa bukti atau biaya untuk keamanan sistem. Namun posisi absolut ini melemah didasarkan asumsi yang membiarkannya terbuka untuk kritik fallibilist.