Logicism

Logicsm adalah sekolah pemikiran yang menganggap matematika murni sebagai bagian dari logika. Pendukung utama pandangan ini adalah G. Leibniz, G. Frege (1893), B. Russell (1919), AN Whitehead dan R. Carnap (1931). Di tangan Bertrand Russell klaim logicism menerima perumusan secara terbuka dan paling eksplisit. Ada dua klaim:

1.  Semua konsep matematika akhirnya dapat direduksi menjadi konsep logis, asalkan ini diambil untuk memasukkan konsep teori himpunan atau sistem yang mirip seperti Teori Russell.
2. Semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan inferensi logika sendiri.

Tujuan dari klaim ini jelas. Jika matematika dapat dinyatakan dalam istilah murni logis dan terbukti dari prinsip-prinsip logis saja, maka kepastian pengetahuan matematika dapat dikurangi dengan logika. Logika dianggap untuk memberikan landasan tertentu untuk kebenaran, terlepas dari upaya untuk memperluas logika, seperti Hukum Frege Kelima. Jadi jika dilakukan melalui, program logicist akan memberikan dasar-dasar logis tertentu untuk pengetahuan matematika, membangun kembali kepastian yang mutlak dalam matematika.

Whitehead dan Russel (1910-1913) mampu membuktikan pertama dari dua klaim melalui rantai definisi. Namun logicism terbentur pada klaim kedua. Matematika memerlukan aksioma non-logis seperti Aksioma Infinity (himpunan semua bilangan alami adalah tak terbatas) dan Aksioma Pilihan (produk Cartesian dari anggota non-set kosong itu sendiri tidak kosong). Russell sendiri menyatakan sebagai berikut.

Tapi meskipun semua logis (atau matematika) proposisi dapat dinyatakan sepenuhnya dalam hal konstanta logis bersama-sama dengan variabel-variabel, bukan hal itu, sebaliknya, semua proposisi yang dapat dinyatakan dengan cara logis. Kami telah menemukan sejauh kriteria yang diperlukan tapi tidak memadai proposisi matematika. Kami telah cukup mendefinisikan karakter dari ide-ide primitif dalam hal mana semua ide-ide matematika dapat didefinisikan, tetapi tidak dari proposisi primitif dari mana semua proposisi matematika dapat disimpulkan ini adalah masalah yang lebih sulit, untuk yang belum diketahui jawaban sepenuhnya.

Kita dapat mengambil aksioma infinity sebagai contoh proposisi yang meskipun dapat dikemukakan dalam hal logis, namun tidak dapat dinyatakan dengan logika untuk menjadi pembenaran.

(Russell, 1919, halaman 202-3, penekanan asli)

Jadi tidak semua teorema matematika dapat diturunkan dari aksioma-aksioma logika sendiri. Ini berarti bahwa aksioma matematika tidak eliminable mendukung logika tersebut. teorema Matematika tergantung pada asumsi-asumsi matematis yang tereduksi. Memang, sejumlah aksioma matematika yang penting adalah independen, dan baik mereka atau negasi mereka dapat diadopsi tanpa  inkonsistensi  (Cohen, 1966). Jadi klaim logicism kedua terbantahkan.

Untuk mengatasi masalah ini Russell kembali ke versi yang lebih lemah dari logicism disebut 'if-thenism', yang mengklaim bahwa matematika murni terdiri dari laporan implikasi dari bentuk 'A → T '. Menurut pandangan ini, seperti sebelumnya, kebenaran matematika yang didirikan sebagai dalil oleh bukti-bukti logis. Masing-masing teorema (T) menjadi akibat dalam pernyataan implikasi. Gabungan dari aksioma matematika (A) digunakan dalam buktian digabungkan ke dalam pernyataan implikasi sebagai pendahuluan (lihat Carnap, 1931). Jadi, semua asumsi matematika (A) yang tergantung pada teorema (T) sekarang dimasukkan ke dalam bentuk baru dari teorema (A - NT), menghindari kebutuhan aksioma matematika.

Hal ini menimbulkan pengakuan bahwa matematika adalah sistem hypotheticodeductive, di mana konsekuensi dari aksioma-aksioma diasumsikan dieksplorasi, tanpa menegaskan kebenarannya. Sayangnya, perangkat ini juga mengarah pada kegagalan, karena tidak semua kebenaran matematika, seperti 'aritmatika Peano konsisten,' dapat disajikan dalam laporan ini dengan cara sebagai implikasi, Machover (1983) berpendapat.

Keberatan kedua, yang memegang terlepas dari validitas dari dua klaim logicist, merupakan alasan utama penolakan terhadap formalisme. Ini adalah Teorema ketidak lengkapan Godel, yang menetapkan bahwa bukti deduktif tidak mencukupi untuk menunjukkan semua kebenaran matematis. Oleh karena itu keberhasilan pengurangan aksioma matematika untuk logika mereka masih tetap tidak cukup sebagai sumber dari semua kebenaran matematika.

Sebuah keprihatinan keberatan ketiga mungkin kepastian dan kehandalan dari dasar logika. Hal ini tergantung pada teruji dan, seperti yang akan dikatakan, asumsi beralasan.

Jadi program logicist mengurangi kepastian pengetahuan matematika dengan logika gagal pada prinsipnya. Logika tidak memberikan dasar tertentu untuk pengetahuan matematika.