Jaminan Konvensionalis untuk Pengetahuan Matematika

Menurut pandangan konstruktivis sosial, pengetahuan matematika tidak sempurna, dalam arti bahwa ia terbuka untuk di revisi, dan obyektif yaitu diterima secara sosial dan dicermati publik yang sesuai. Pengetahuan matematika yang valid adalah pengetahuan yang diterima berdasarkan pada basis dimana menjadi pengetahuan dijustifikasi publik (pembuktian dipublikasikan) yang telah lolos (atau telah dirumuskan dalam kebenaran) dari kecermatan dan kritik publik.

Pembenaran untuk item tertentu terdiri dari pengetahuan matematika terdiri dari bukti deduktif yang sah secara informal atau formal. Analisis suatu bukti membenarkan item pengetahuan harus mempertimbangkan dua aspek: asumsi awal eksplisit, dan urutan langkah yang dibenarkan menuju ke kesimpulan. Kita tinjau pertama asumsi awal. Ini terdiri dari (i) pernyataan hipotetis atau aksioma yang diandaikan (misalnya, hipotesis kontinum), (ii) definisi (misalnya, induktif definisi Peano tentang ‘+’), (iii) pengetahuan matematika sebelumnya yang telah diakui, biasanya teorema sebelumnya yang telah ditetapkan, (iv ) ‘kebenaran’ pengetahuan matematika informal yang telah diterima, yang tertanam dalam bahasa matematika, atau formalisasi mereka (misalnya, Aksioma Peano), atau (v) aksioma logis. Dari jenis ini, (iii) dapat direduksi ke lain (melalui bukti-bukti). Asumsi yang tersisa adalah asumsi hipotetis (kasus (i) dan kasus (iv) dalam beberapa contoh), atau merupakan kesepakatan (konvensi) dan aturan bahasa matematika. Definisi jenis (ii) adalah konvensi oleh fiat, yang hanya ditetapkan seperti itu. Dua jenis asumsi yang tersisa adalah aturan matematika informal, atau formalisasinya (kasus iv), atau aksioma logis (kasus v). Pembenaran untuk kedua jenis asumsi adalah conventionalist, dan ditawarkan di bawahnya.

Kedua, bukti matematis terdiri dari urutan langkah berhingga bermula dari asumsi awal bukti, sampai ke kesimpulan. Ciri kunci langkah tersebut adalah makna urutan cara untuk melanjutkan satu langkah berikutnya yaitu pembenaran untuk menyimpulkan langkah dari sebelumnya. Pembenaran untuk suatu langkah terdiri dari (i) penggunaan aturan logis dari inferensi (misalnya aturan Modus Ponens), (ii) menggunakan prinsip matematika dari inferensi (misalnya Prinsip Pigeon Hole), (iii) pengenalan Asumsi baru (ini seperti kasus-kasus yang dirawat di paragraf sebelumnya), (iv) klaim bahwa langkah ini dibenarkan oleh kombinasi dasar dari jenis langkah-langkah sebelumnya, dan (v) analogi dengan bukti yang sama diberikan di tempat lain. Dengan asumsi bahwa setiap klaim di bawah kasus (iv) dan (v) yang diverifikasi, sedangkan (i) dan (ii) untuk dipertimbangkan. Ini tergantung pada asumsi aturan atau prinsip matematis atau logika. Ini akan baik akan dikembalikan pada asumsi-asumsi yang sederhana (seperti Pigeon Hole Principle) atau prinsip dasar dan aturan logika matematika. Aturan seperti itu pada prinsipnya tidak berbeda dari dasar asumsi matematis dan logis yang dibahas di atas. Bahkan asumsi dan aturan bersama-sama diterjemahkan, sehingga peraturan dapat digantikan dengan asumsi dalam kalimat, meskipun setidaknya satu aturan atau kesimpulan logis yang diperlukan. Jika, kesederhanaan, dengan demikian kita membuang aturan-aturan matematika (menggantikan mereka dengan asumsi-asumsi dalam bentuk proporsional), asumsi yang dapat disimpulkan langkah-langkah dalam matematika didasarkan bukti dengan mengurangi beberapa aturan dasar kesimpulan logis. Aturan inferensi ini yang akan dibenarkan oleh conventionalist argumen.

Kita telah melihat bahwa hal terpenting untuk menyatakan pengetahuan matematika terdiri dari matematika puf (dari satu langkah saja, dalam kasus asumsi dasar). Dasar yang penting tersebut tinggal di sejumlah asumsi dasar (kecuali benar-benar hipotetis aksioma, seperti ‘V = L’ dari Godel, 1940, atau aksioma dari Tensor Teori). Asumsi-asumsi dasar ini terdiri dari matematika informal ‘kebenaran’, dan logis aksioma dan aturan inferensi. Ini dibenarkan, dalam bagian sebelumnya, seperti konvensi linguistik, yang merupakan bagian dari aturan makna dan penggunaan yang melekat dalam genggaman bahasa kita. Oleh karena itu, berpendapat, seluruh isi pengetahuan matematika itu dibenarkan oleh bukti-bukti, dasar dan keamanan yang bertumpu pada pengetahuan linguistik dan aturan