Argumen mendasar terhadap pandangan absolutis pengetahuan matematika
dapat dielakkan dengan pendekatan hypothetico-deduktif. Namun, di luar masalah
diasumsikan kebenaran aksioma, pandangan absolutis mengalami kelemahan utama.
Yang pertama menyangkut logika yang mendasar pada pembuktian matematika
lainnya. Pembentukan kebenaran matematika, yaitu mendeduktifkan teorema dari
seperangkat aksioma, membutuhkan asumsi lebih lanjut, yaitu aksioma dan aturan
inferensi logika sendiri. Ini adalah non
trivial dan tidak dapat diasumsikan
untuk argumen di atas (yang tidak dapat diasumsikan pada masalah lingkaran setan) berlaku sama logika.
Dengan demikian kebenaran
matematika tergantung pada logika
mendasar sama sperti asumsi matematis.
Tidak mungkin hanya menambahkan semua asumsi logika untuk menetapkan asumsi
matematika, setelah 'jika-maka' dari strategi hypothetico-logika deduktif menyediakan kanon dari kesimpulan yang benar
dengan teorema matematika yang
diperoleh. Memasukkan semua asumsi logis dan matematis ke dalam 'bagian
hipotesis' dasar untuk bagian
deduktif' dari metode ini. Deduksi
mengenai ' kesimpulan yang benar ", dan ini pada gilirannya didasarkan
pada gagasan tentang kebenaran (kebenaran nilai) tapi apa yang kemudian dipakai
sebagai dasar kebenaran logis?. Ini tidak dapat dibiarkan pada bukti, yang
menjengkelkan dari lingkaran setan, sehingga harus diasumsikan. tetapi setiap
asumsi tanpa dasar yang kuat, apakah itu diperoleh melalui intuisi, konvensi,
berarti atau apa pun, adalah salah. "
Singkatnya,
kebenaran matematika mendasarkan pada
bukti deduksi dan logika. Tetapi logika sendiri tidak memiliki dasar tertentu.
Ini terlalu bertumpu pada asumsi tereduksi. sehingga meningkatkan
ketergantungan pada deduksi logis himpunan asumsi yang lain kebenaran
matematika, dan ini tidak bisa dinetralisir oleh strategi 'jika-maka’.
Dugaan lebih jauh dari pandangan absolut bahwa
matematika pada dasarnya bebas dari kesalahan. untuk inkonsistensi dan
absolutisme jelas tidak kompatibel. tapi ini
tidak dapat didemonstrasikan. matematika terdiri dari teori-teori
(misalnya teori grup, teori kategori) yang dipelajari dalam sistem matematika,
berdasarkan serangkain asumsi (aksioma). untuk menetapkan bahwa sistem
matematika aman (consistent), untuk setiap sistem sederhana tetapi kita dipaksa
untuk memperluas serangkaian asumsi dari
sistem (teorema ketidaklengkapan Godel kedua, 1931). Oleh karena itu kita
menganggap konsistensi sistem kuat untuk menunjukkan bahwa seorang lemah. Oleh
karena itu kita tidak dapat mengetahui bahwa setiap sistem matematika termasek
yang paling sepele tetap aman, dan kemungkinan kesalahan dan inkonsistensi
harus selalu tetap. Kepercayaan pada keamanan matematika harus didasarkan baik
atas dasar empiris (tidak ada kontradiksi yang ditemukan pada sistem matematika ) atau pada iman, tidak memberikan
dasar tertentu yang membutuhkan absolutisme.
Di luar
kritik ini, ada masalah lebih lanjut
pada penggunaan bukti sebagai dasar untuk kepastian dalam matematika.
Hanya bukti formal deduktif sepenuhnya dapat berfungsi sebagai perintah untuk
kepastian dalam matematika. Bukti seperti itu
hampir tidak ada. Absolutisme mengharuskan membentuk kembali matematika
informal ke dalam sistem deduktif formal, yang memperkenalkan asumsi lebih
lanjut. Masing-masing asumsi berikut adalah kondisi yang diperlukan untuk
kepastian seperti dalam matematika. Masing-masing, itu berpendapat, adalah
asumsi absolut tidak diperlukan.
Asumsi A
Bukti bahwa publikasikan matematikawan sebagai tuntutan untuk menyatakan teorema berguna,
pada prinsipnya, akan diterjemahkan ke dalam bukti-bukti formal yang ketat.
Pembuktian informal
yang dipublikasikan matematikawan
biasanya cacat, dan tidak berarti seluruhnya dapat diandalkan (Dawis, 1972). Menerjemahkan mereka ke dalam bukti-bukti formal yang ketat sepenuhnya
bukan tugas mesin. Hal ini membutuhkan kecerdikan manusia untuk menjembatani
dan untuk memperbaiki kesalahan. Karena
pemformalan total matematika
tidak mungkin akan dilakukan, nilai apa yang diklaim bahwa bukti-bukti informal dapat
diterjemahkan ke dalam bukti-bukti formal 'pada prinsipnya'? Ini adalah
janji yang tidak terpenuhi, bukan alasan untuk kepastian. kekakuan total adalah
tidak tercapai dan bukan realitas praktis. Oleh karena itu kepastian
tidak dapat diklaim untuk bukti matematika , bahkan jika kritik sebelumnya
tidak dapat diabaikan.
Asumsi B
Bukti formal yang ketat dapat diperiksa kebenarannya. Sekarang
ada bukti informal tidak dapat dicek manusia, seperti Appel-Haken (1978) bukti
teorema empat warna (Tymoczko, 1979). Diterjemahkan ke dalam bukti-bukti formal
yang ketat yang mana akan menjadi lebih panjang. Jika ini tidak mungkin disurvei oleh seorang
matematikawan, atas dasar apa mereka dapat dianggap sebagai kebenaran mutlak?
Jika bukti tersebut diperiksa oleh komputer apa yang menjadi jaminan bahwa
perangkat lunak dan hardware yang dirancang benar-benar sempurna, dan bahwa perangkat lunak berjalan
sempurna dalam praktek? Mengingat kompleksitas perangkat keras dan perangkat
lunak tampaknya tidak masuk akal bahwa ini dapat diperiksa oleh satu orang.
Selanjutnya, cek tersebut melibatkan unsur empiris (yakni, tidak berjalan
sesuai dengan desain?). Jika memeriksa bukti-bukti formal tidak dapat
dilakukan, atau memiliki unsur empiris, maka klaim, dari kepastian yang mutlak
harus dilepaskan (Tymoczko, 1979).
Asumsi C
Teori-teori Matematika dapat secara sah diterjemahkan ke dalam
serangkaian aksioma formal.
Formalisasi teori matematika intuitif dalam
seratus tahun terakhir (misalnya, logika matematika, teori bilangan, teori
himpunan, analisis) telah menyebabkan masalah yang mendalam dan tak terduga,
sebagai konsep-konsep dan bukti berada di bawah pengawasan semakin menusuk,
saat mencoba untuk menjelaskan dan merekonstruksi mereka. Formalisasi memuaskan dari sisa
matematika tidak dapat diasumsikan bukan masalah. Sampai formalisasi ini
dilakukan tidak mungkin untuk menyatakan dengan kepastian bahwa hal itu dapat
dilakukan secara sah. Tapi sampai matematika diformalkan, ketelitian, yang mana
diperlukan kondisi untuk kepastian,
diluar angan-angan.
Asumsi D
Konsistensi dari representasi (dalam asumsi C) dapat diperiksa. Seperti yang
kita ketahui dari Teorema Ketidaklengkapan Godel, ini menambah beban secara
signifikan terhadap asumsi-asumsi yang mendukung pengetahuan matematika. Jadi
tidak ada jaminan kebenaran mutlak .
Masing-masing dari keempat asumsi menunjukkan di mana masalah lebih
lanjut dalam membangun kepastian pengetahuan matematika mungkin timbul. Ini
bukan masalah tentang kebenaran asumsi dari pengetahuan dasar matematika
(yaitu, asumsi dasar). Melainkan ini adalah masalah dalam mencoba
mengirimkan kebenaran asumsi ini ke
seluruh pengetahuan matematis dengan alat bukti deduktif, dan dalam membangun
keandalan metode ini.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar