Seringkali diklaim bahwa belajar matematika sifatnya hirarkis, berarti bahwa ada item pengetahuan dan keterampilan yang memerlukan prasyarat untuk belajar item pengetahuan matematika. Pandangan semacam ini diwujudkan dalam teori Piaget tentang perkembangan intelektual. Piaget menyatakan rangkaian empat tahap (sensori motor, pre-operasional, operasional konkrit, operasi formal) yang membentuk hirarki perkembangan. Pelajar harus menguasai operasi pada satu tahap sebelum dia siap berpikir dan menjalankan level selanjutnya. Namun aspek hirarki yang kaku dari teori Piaget telah dikritisi (Brown dan Desforges, 1979). Sehingga piaget menciptakan istilah ‘decalage’ untuk menggambarkan kompetensi hirarki yang melampaui (transgressing)

          Psikolog lain yang menyatakan bahwa belajar sifatnya hirarkis adalah Gagne. Dia mengemukakan bahwa topik hanya bisa dipelajari ketika hirarki prasyaratnya telah dipelajari.

          Topik pada (item pengetahuan) pada level tertentu dalam hirarki harus didukung oleh satu atau lebih topik pada level selanjutnya yang lebih rendah….setiap orang tidak akan mampu belajar topik tertentu jika dia gagal mencapai topik bawahnya yang mendukung.

 (Gagne, 1977, hal 166-7)

Gagne menyatakan bahwa dalam pengujian empirik, tidak ada dari topiknya, hirarki muncul lebih dari 3 persen dari hal yang berlawanan.

          Sehingga dua psikolog representatif yang berpengaruh dari tradisi perkembangan dan behaviorist telah membuat penelitian spesial tentang matematika. Dalam pendidikan matematika, ada penelitian empirik yang mempunyai pokok isi untuk menemukan hirarki belajar dalam matematika. Proyek Inggris yang berpengaruh, Concept in Secondary Mathematics and Science, mengajukan sejumlah pemahaman hirarki dalam beberapa area pemikiran matematika (Hart, 1981). Penelitian ini menawarkan delapan level hirarkis dalam tiap topik yang diteliti.

          Teori dan karya empirik merupakan pilihan kecil dari penelitian yang berkaitan dengan identifikasi hirarki dalam belajar matematika. Penelitian semacam ini, bisa dipasangkan dengan pandangan sifat matematika dari para absolutist-foundationist, telah mengarahkan pada kepercayaan yang luas bahwa belajar matematika mengikuti urutan hirarki. Sebagai contoh, pandangan ini disebutkan dalam laporan Cockroft.

         Matematika merupakan subjek yang sulit untuk diajarkan dan dipelajari. Salah satu alasan mengapa demikian adalah matematika merupakan subjek hirarkis…kemampuan untuk memulai karya baru sangat sering tergantung pada pemahaman yang memadai dari satu atau lebih karya, yang sudah ada sebelumnya.

 (Cockroft, 1982, hal 67, penekanan asli)

Pandangan hirarkis dari belajar matematika memiliki ekspresi yang paling baik dalam kurikulum nasional dalam matematika, seperti yang sudah kita lihat (Departemen Pendidikan dan ilmu pengetahuan, 1989). Ini merupakan spesifikasi hirarkis yang pasti dari kurikulum matematika pada level sepuluh, menetapkan dasar yang diperlukan untuk studi matematika dari semua anak (dalam English dan Welsh state school) dari usia 5 hingga 16 tahun.

Implikasi Pendidikan

Fakta bahwa disiplin matematika tidak memiliki struktur hirarkis unik dan tidak bisa ditunjukkan sebagai kumpulan dalil molekular, memiliki implikasi pendidikan. Namun, pertama hubungan antara disiplin matematika dan isi kurikulum matematika harus dipertimbangkan.

Hubungan antara matematika dan kurikulum

Dua hubungan alternatif adalah  mungkin. (1) Kurikulum matematika harus merupakan seleksi representatif dari disiplin matematika, sekalipun dipilih dan dibentuk sehingga dapat diperoleh untuk pelajar. (2) Kurikulum matematika merupakan entitas independen, yang tidak perlu menunjukkan disiplin matematika. Sebagian besar teoretikus kurikulum menolak kemungkinan kedua, mengemukakan  kasus umum dimana kurikulum harus menunjukkan pengetahuan dan proses penelitian disiplin subjek (Stenhoyse, 1975; Schwab, 1975; Hirst dan Peters, 1970). Bentuk kasus 2 adalah sindiran yang efektif dari Benjamin (1971).

          Studi perubahan kurikulum telah mendokumentasikan bagaimana perkembangan dalam matematika memberikan peningkatan melalui tekanan yang digunakan oleh ahli matematika pada perubahan dalam kurikulum matematika sekolah yang menunjukkan peningkatan ini (Cooper, 1985); Howson, 1981). Lebih umum, dalam pendidikan matematika diterima bahwa isi kurikulum harus menunjukkan sifat disiplin matematika. Penerimaan ini sifatnya implisit atau eksplisit, seperti dalam Thwaites (1979), Confrey (1981) dan Robitaille dan Dirks:

          konstruksi kurikulum matematika….(dihasilkan dari) sejumlah faktor yang berjalan dalam badan matematika untuk memilih dan menyusun kembali isi untuk menjadi lebih tepat bagi kurikulum sekolah.    

(Robitaille dan Dirks, 1982, hal. 3)

Seminar internasional mengenai pendidikan matematika secara eksplit mempertimbangkan kemungkinan bahwa ‘matematika nyata’ tidak akan membentuk dasar kurikulum matematika bagi setiap orang (sebagian besar akan hanya mempelajari ‘matematika yang berguna’) Namun, hal ini berlawanan dengan tiga pilihan lain yang diperhatikan, termasuk pandangan yang paling banyak diterima yang berbeda tetapi  kurikulum yang representatif diperlukan (Howson dan Wilson, 1986)

          Dari kelima ideologi yang dibedakan dalam buku ini, semuanya kecuali pelatih industrial menyokong dengan kuat kasus 1. Sebagai konsekuensi dari survey singkat ini, bisa dikatakan bahwa prinsip bahwa kurikulum matematika harus merupakan seleksi representatif dari disiplin matematika yang menunjukkan konsensus ahli.

          Jika kurikulum matematika digunakan untuk menunjukkan disiplin matematika, maka seharusnya tidak menunjukkan matematika yang memiliki struktur hirarkis yang tetap dan unik. Ada struktur ganda dalam satu teori, dan tidak ada struktur atau hirarki yang bisa dikatakan paling baik. Sehingga kurikulum matematika harus memungkinkan cara penyusunan pengetahuan matematika yang berbeda. Selanjutnya, kurikulum matematika seharusnya tidak menawarkan koleksi dalil terpisah sebagai konstitusi matematika. Bagi komponen matematika disusun dan dihubungkan, dan harus ditunjukkan dalam kurikulum matematika.

          Implikasi pendidikan ini memungkinkan kita untuk mengkritik kurikulum nasional dalam matematika pada dasar epistimologis. Untuk kurikulum matematika ditunjukkan sebagai hirarki unik dari empat belas topik (target pencapaian) pada level 10 (Departemen pendidikan dan ilmu pengetahuan, 1989). Selanjutnya, pada tiap level, topik ditampilkan oleh sejumlah dalil atau proses, dan penguasaan disiplin matematika dipahami untuk menghasilkan penguasaan komponen berbeda ini. Sehingga kurikulum nasional salah dalam menggambarkan matematika, berlawanan dengan prinsip kurikulum yang diterima. Hal ini mewujudkan hirarki dimana ini tidak dibenarkan dalam istilah sifat matematika, serta menunjukkan pengetahuan matematika sebagai rangkaian fakta dan keterampilan diskret.

          Pembelaan yang mungkin muncul adalah bahwa kurikulum matematika bisa gagal menunjukkan disiplin matematika guna memenuhi tujuan psikologis, seperti menunjukkan hirarki psikologis matematika.

Apakah matematika merupakan rangkaian komponen pengetahuan diskret?

Ada asumsi lebih jauh terkait dengan sifat dan struktur pengetahuan matematis yang layak mendapat pemeriksaan karena impor pendidikannya. Ini merupakan asumsi bahwa matematika dapat dianalisa dalam komponen pengetahuan diskret, jumlah (atau sekumpulan lebih) yang tidak terstruktur dari menunjukkan disiplin. Asumsi ini menunjukkan bahwa dalil matematika sifatnya tidak tergantung makna dan signifikansi.

          Dengan membedakan masalah formal, informal dan tulisan sosial matematika merupakan bukti bahwa klaim ini paling baik dibuat untuk matematika formal. Untuk dua domain yang mengisyaratkan konteks makna, akan dikemukakan berikut ini. Karena struktur merupakan salah satu karakteristik pengetahuan matematika, klaim ini bisa juga berada dalam asumsi yang tidak dibenarkan dimana ada struktur yang unik pada matematika. Hal ini mungkin diperlukan sehingga ketika molekul pengetahuan diskret digabungkan kembali, akan muncul hasil yang tetap dan sebelumnya ditetapkan secara keseluruhan (badan pengetahuan matematika). Kita telah mengatur asumsi kedua di atas. Namun, perkiraan bahwa dalil matematika tidak tergantung pada makna dan signifikansi juga tidak berhasil. Pertama, tanda matematis formal mendapatkan signifikansinya dari teori aksiomatik atau sistem formal dimana mereka terjadi. Tanpa konteks ini mereka akan kehilangan beberapa signifikansinya, dan struktur ditentukan oleh teori akan gagal.

          Kedua, ekspresi matematika formal secara eksplisit mendapat makna semantiknya dari interpretasi atau kelas dari interpretasi yang dimaksud terkait dengan teori dan bahasa formal. Semantik ini merupakan bagian standard dari logika formal Sejak Tarski (1936). Gagasan ini telah diperluas pada perlakuan teori ilmiah formal oleh Sneed (1971), yang menambahkan kelas interpretasi yang dimaksud pada struktur teori formala. Sehingga pemisahan tanda matematika dalam bagian diskret atau yang terisolasi menolak sebagian besar dari signifikansinya dan semua makna semantiknya. Tanda ini akhirnya memiliki klaim kecil yang dianggap sebagai komponen molekular dari pengetahuan matematika.

          Bahkan lebih dari yang di atas, ekspresi dari tulisan matematika informal memiliki makna implisit yang dikaitkan dengan keseluruhan latar belakang teori dan konteks. Bagi aturan dan makna yang mengatur tanda ini tidak memiliki ketentuan formal yang jelas, namun tergantung lebih pada aturan penggunaan implisit (Wittgenstein, 1953). Model semantik dari bahasa formal dan informal menggambarkan konteks utterance (Barwise dan Perry, 1982). Baik ditunjukkan dalam bahasa formal maupun informal, tanda matematika tidak bisa dianggap sebagai makna yang berdiri bebas, dan tidak tergantung. Sehingga matematika tidak bisa ditunjukkan sebagai serangkaian molekular dalil, dalam hal ini tidak menunjukkan hubungan struktural antara dalil, dan kehilangan makna konteks dependen mereka

Apakah Matematika Memiliki Struktur Hirarkis yang Unik?

Pertanyaan ini bisa dianalisis dalam dua bagian, yang terkait dengan keberadaan dan keunikan struktur hirarkis untuk matematika. Sehingga kita memiliki dua pertanyaan cabang: apakah keseluruhan struktur hirarkis pengetahuan matematika ada? Dan jika demikian, apakah ini merupakan struktur hirarkis yang unik dan pasti?

          Hirarki bisa didefinisikan bagi badan pengatahuan matematika dengan keseluruhan struktur. Baik ini merupakan struktur aksiomatik, berdasarkan aksioma dan aturan interferensi, atau struktur definisional, berdasarkan istilah primitif dan selanjutnya istilah yang didefinisikan lalu hirarki yang dapat didefinisikan. Tanda primitif dari hirarki (aksioma atau istilah primitif) terdiri dari level terendah (0). Sekarang ekspresi  E lainnya dalam struktur bisa dicapai dalam beberapa jumlah minimum n dari aplikasi aturan (aturan interferensi atau definisi) dari tanda level 0. Jumlah n ini mendefinisikan level tanda E dalam hirarki. Sehingga setiap tanda ditunjuk pada level unik dalam hirarki. Sehingga badan pengetahuan matematika bisa menjadi bentuk hirarkis resmi yang menetapkan sistem atau struktur matematika tunggal, yang dihubungkan oleh hubungan inferensial atau definisional. Hubungan inferensial adalah yang paling tepat untuk dipertimbangkan, karena menunjukkan hubungan justificatory antara dalil dan rumus matematika, yang memberikan struktur teori aksiomatik deduktif.

          Dengan menggunakan perbedaan antara level formal, informal dan tulisan sosial dari matematika, kita melihat bahwa untuk teori matematika formal yang tepat, hirarki bisa didefinisikan. Sebagai kenyataan penyelidikan matematis informal, hal ini mungkin tidak mungkin dilakukan. Untuk dasar aksiomatik mungkin tidak akan ditetapkan sepenuhnya, dan hubungan logis antara dalil matematika informal mungkin tidak dibuat dengan meyakinkan. Maka berikut ini kita akan fokus hanya pada teori matematika formal, atau teori matematika informal yang siap untuk diformalkan. Sebaliknya untuk kondisi penciptaan hirarki mungkin tidak akuntansi terpenuhi.

          Sekarang kita siap memperhatikan dua pertanyaan. Pertama: apakah semua struktur hirarkis pengetahuan matematika ada? Kita telah melihat bahwa untuk semua teori matematika formal, dengan sekumpulan aksioma tetap, maka ada struktur hirarkis, pilihan aksioma, bersamaan dengan spesifikasi aturan interferensi dan latar belakang bahasa formal, menentukan teori matematika hirarkis. Namun, matematika dibentuk oleh banyak teori yang berbeda, kebanyakan memiliki formulasi aksiomatik yang berbeda. Aksiomatik menetapkan teori misalnya, memiliki sejumlah aksiomatisasi yang cukup berbeda seperti teori Zermelo-Fraenkel dan Teori Godel-Bernays-von-Neuman (Kneebone, 1963). Di luar itu, banyak ahli matematika selanjutnya mengubah teori himpunan aksiomatik yang mereka pelajari dengan menambahkan aksioma lanjut (Jech, 1971; Maddy, 1984)

          Akibatnya, tidak ada keseluruhan struktur bagi matematika formal, karena ini terbentuk dari banyak sekali teori yang berbeda dan pembentukan teori, semuanya dengan struktur dan hirarkinya sendiri. Selanjutnya, sebenarnya setiap satu dari teori aksioma ini tidaklah lengkap, menurut Godel (1931). Maka ada kebenaran teori yang tidak memiliki tempat dalam hirarki deduktif. Seperti yang kita tahu dalam bab sebelumnya, usaha yang dilakukan oleh beberapa ahli matematika hebat dari abad ini untuk menciptakan pengetahuan matematika dalam sistem fondasi tunggal dimana logicist, formalist atau intuitionist, semuanya gagal. Sehingga hasil dari meta-matematika mendorong kita untuk memahami bahwa matematika dibentuk oleh teori keserberagaman yang berbeda, dimana hal ini tidak bisa diturunkan pada sistem tunggal, dan tidak ada dari teori ini yang cukup untuk menangkap semua kebenaran bahkan dalam domain aplikasi yang terbatas.

          Hal ini diikuti oleh pertanyaan mengenai keberadaan seluruh hirarki matematika yang harus dijawab dalam bentuk negatif. Ini tidak bisa ditarik kembali. Namun kita harus mempertimbangkan pertanyaan yang lebih lemah. Apakah struktur matematika informal yang luas dan komprehensif ada, bahkan jika tidak berhasil memenuhi kriteria ketat yang diperlukan untuk memberikan struktur ambigu pada matematika? Struktur ini bisa ditemukan dalam elemen Bourbaki (Kneebone, 1963). Bourbaki memberikan penjelasan matematika sistematik, dimulai dengan menetapkan teori, dan mengembangkan satu setelah muncul teori murni, matematika struktural. Meskipun struktur Bourbaki yang tidak bisa dikatakan lengkap (dalam pengertian informal), karena meninggalkan aspek computasional dan rekursif dari matematika, maka hal ini menunjukkan kodifikasi informal dari porsi substansial matematika. Apakah hal ini memberikan jawaban positif pada pertanyaan lemah? Jika kita mengatakan iya, maka keberatan berikut harus dipikirkan:

1. porsi signifikan dari pengetahuan matematis diabaikan;
2. sistem tidak begitu baik secara formal yang memungkinkan hirarki tetap dari pengetahuan matematis dihasilkan;
3. sistem keseluruhan tergantung pada asumsi teori klasik sebagai fondasi matematika;
4. seluruh sistem terikat dalam hal budaya, mencerminkan strukturalisme abad pertengahan duapuluh.

Maka hanya dalam bentuk yang sangat lemah kita bisa menyatakan bahwa ada seluruh struktur pada bagian signifikan dari matematika.

          Pertanyaan kedua adalah sebagai berikut. Dengan asumsi bahwa ada struktur keseluruhan pada pengetahuan matematika, apakah ini merupakan struktur tetap dan unik dimana hirarki bisa didasarkan? Pertanyaan ini memiliki dua bagian. Pertama terkait dengan keunikan struktur matematika. Kita telah melihat bahwa bagian kedua ini tidak dapat dipertahankan. Bahkan jika struktur yang diberikan oleh Bourbaki diakui sebagai struktur yang unik, informal dan tidak memadai bagi definisi hirarki yang tepat. Maka dalam pegertian yang tegas, kita bisa mengakui bahwa tidak ada hirarki unik pada matematika.

          Namun mari kita kembali pada keunikan struktur matematika. Keunikan ini tergantung pada persetujuan seperti pada fondasi matematika, Bourbaki mengasumsikan serangkaian fondasi teoritis. Dengan mengabaikan perbedaan antara teori bisakah teori yang memberikan keunikan menyetujui dasar bagi matematika? Pertanyaan ini harus dijawab dalam bentuk negatif. Kita telah melihat bahwa Foundationist mengklaim bahwa matematika berada dalam kegagalan fondasi yang unik. Paling tidak dua alternatif pada fondasi teoritis dalam matematika ada. Pertama, telah diklaim bahwa Teori Kategori bisa memberikan dasar alternatif matematika, dalam tempat teori himpunan (Lawvere, 1966). Klaim ini belum sepenuhnya dibenarkan, namun meski demikian ini merupakan tantangan bagi keunikan fondasi teoritik himpunan. Ada cabang teori kategori (teori Topos) yang kedua-duanya logika intuisi dan klasik dapat diturunkan (Bell, 1981). Karena teori himpunan dapat ditunjukkan dalam logika klasik urutan pertama, maka bisa diturunkan untuk teori kategori.

          Kedua, logika intuisionis memberikan fondasi bagi matematika. Meskipun tidak semua matematika bisa ditunjukkan dalam kaitannya dengan basis ini, sebagian besar dari program telah direalisasikan untuk analisis, oleh Bishop (1967) dan yang lainnya. Oleh karena itu logika intuisionist mengakomodir matematika combinatioral, tidak seperti fondasi teoriti himpunan dari matematika klasik. Sehingga dalam basis dua argumen ini, klaim bahwa ada struktur unik pada matematika disangkal.

          Kenyataannya, sejarah matematika mengajarkan pada kita pelajaran yang berlawanan. Dalam keseluruhan perkembangan perubahan matematika melalui restrukturisasi fundamental dari konsep matematika, teori dan pengetahuan (Lakatos, 1976). Sehingga meskipun struktur memainkan peran sentral dalm pengatyran pengetahuan matematika, mereka merupakan struktur ganda yang membentuk, membubarkan dan mereformasi sejalannya waktu. Tidak ada dasar untuk mengasumsikan bahwa proses ini mungkin akan berhenti, atau dengan asumsi bahwa teori alternatif dan reformulasi akan melelahkan. Pandangan semacam ini sangatlah penting bagi konstruktivisme sosial, dan bagi filosofi matematika lain yang mengakui dasar historisnya. Sehingga benar bahwa pada satu waktu matematika bisa digambarkan dengan struktur hirarkis tunggal yang unik, serta kapanpun ketika struktur menunjukkan perubahan dan berkembang.

          Dalam menyangkal klaim bahwa matematika memiliki struktur hirarkis yang unik, perhatian telah dibatasi pada logika, yang merupakan struktur teori  matematika deduktif. Seperti yang sudah kita lihat hirarki bisa didefinisikan dengan cara lain, khususnya sebagai hirarki istilah dan definisi. Ketika hal ini tidak begitu signifikan dalam matematika sebagai struktur deduktif, argumen yang sama bisa diubah pada bidang ini. Untuk struktur deduktif dari sebarang teori yang membawa hirarki definisi, dan hampir seperti banyak struktur definisional yang ada sebagai sesuatu yang deduktif. Sehingga tidak ada hirarki yang unik dari definisi. Hirarki global sedang digunakan dalam matematika. Dalam teori individu atau domain beberapa hirarki tentunya hal ini tidak ada, seperti derajat Turing (tidak bisa dipecahkan) dalam teori rekursi (Bell dan Machover, 1977). Namun hal ini tidak memiliki struktur bahkan dalam pecahan signifikan dari pengetahuan matematika. Maka bisa dinyatakan dengan tegas bahwa matematika tidak memiliki seluruh struktur hirarkis, dan tentunya bukanlah sesuatu yang unik, bahkan ketika klaim diinterpretasikan dengan baik dan bebas.

Kekuatan Model

Model  teoritis  grounded

Pendidikan matematika telah dikritik oleh sejumlah penulis untuk menjadi upaya

atheoretical (lihat, sebagai contoh, Bauersfeld 1979). Model ini menggabungkan sejumlah landasan teoritis. Ini termasuk filsafat matematika, teori perkembangan intelektual dan etika, dan teori sosiologis-historis. Dengan menggabungkan seperangkat ide-ide dari sumber-sumber model ini yang  memiliki kebajikan yang secara teoritis juga beralasan.

Model akomodasi kompleksitas

Dengan membedakan lima ideologi dan kelompok kepentingan, model mampu mengakomodasi beberapa kompleksitas sejarah kurikulum matematika. Ini merupakan lanjutan atas model sebelumnya dan karena karakterisasi yang lebih halus, lebih mampu memperhitungkan kompleksitas ideologi dan kepentingan yang mendasari berbagai set tujuan untuk kurikulum matematika. Ini mengakui bahwa konflik tujuan dan kepentingan mungkin terletak di belakang perbedaan perkembangan pendidikan, dan dengan demikian merupakan perbaikan pada yang menganggap konsensus. Model  yang dapat diterapkani Model ini menyediakan alat yang kritsis untuk mengidentifikasi tujuan yang berbeda dan ideologi tersirat dalam proyek kurikulum matematika, laporan dan reformasi. Hal ini digunakan dengan cara, di bawah ini. Hal ini juga harus berlaku diluar matematika  untuk area lain dari kurikulum sekolah, karena didasarkan pada lima kelompok kepentingan yang melampaui pendidikan matematika

Kritik terhadap Model

Gabungan sewenang-wenamg  filsafat , nilai-nilai dan kelompok

Kritik pertama dari model ini adalah bahwa bahwa kesewenang-wenangan dalam pemilihan jenis komponen utama, link mereka, dan identifikasi mereka dalam setiap lima ideologi. Ini memiliki beberapa fondasi. Model ini spekulatif dan interdisiplin, gambaran

bersama elemen filsafat, psikologi, sosiologi dan sejarah, baik didalam dan diluar pendidikan matematika. Sedangkan bagian-bagian penyusunnya didasarkan baik dalam perbedaan disiplin teoritis,  keseluruhan sintesis diakui bersifat terkaan. Karenanya tidak ada finalitas yang diklaim untuk daftar komponen dalam model, yang digabung bersama oleh asosiasi masuk akal daripada logika.

Menyederhanakan model asumsi

Model, dari kebutuhan, tergantung pada banyak menyederhanakan asumsi. Hal ini diasumsikan bahwa ideologi tunggal dan kepentingan kelompok mempertahankan identitasnya terhadap bagian dari waktu perlakuan, meskipun perubahan besar-besaran dalam pengetahuan, masyarakat dan pendidikan. Dalam setiap  kelompok segmen yang berbeda  dapat membentuk, mengikat-eratkan bersama dalam aliansi, membubarkan, atau istirahat pergi memberikan gambaran secara keseluruhan dari fluks dan perubahan. Ini mengasumsikan bahwa lima kelompok diwakili baik didalam dan diluar pendidikan matematika, dan tidak membedakan antara segmen divergen dalam setiap kelompok. Ini juga mengasumsikan bahwa lima posisi tersebut diskrit, dan bahwa individu atau sektor dapat secara unik ditugaskan untuk salah satu dari mereka. Sebaliknya, sangat mungkin bahwa tujuan dari dua atau lebih dari posisi yang diadopsi oleh individu atau kelompok. Masing-masing mewakili menyederhanakan asumsi. Di sisi lain, tanpa asumsi semacam itu, tidak ada model global yang mungkin.

Kurikulum matematika yang direncanakan versus diajarkan

Model ini menyangkut ideologi pendidikan matematika, dan tidak mempertimbangkan

perbedaan antara, direncanakan, diimplementasikan dan kurikulum matematika yang diajarkan. Penelitian terbaru, baik teoritis dan empiris, telah menekankan kesenjangan

yang ada antara tiga tingkatan kurikulum. Model ini hanya memperlakukan

tingkat atas, tujuan dan ideologi yang mendasari kurikulum matematika yang direncanakan. Jadi pertanyaannya tetap: yang mana sumber atau faktor intervensi antara tujuan, niat dan ideologi dan pelaksanaannya dalam kurikulum matematika?

Evaluasi Kritis dari Perspektif Pendidik Masyarakat

                                    

Kekuatan

 

Pertama, perspektif pendidik masyarakat, dari yang dianggap, sebagian besar merupakan perwujudan   dan kelanjutan demokrasi dalam tujuannya untuk pendidikan matematika. Hal ini hanya ideologi dengan tujuan eksplisit meningkatkan realisasi-diri pelajar baik sebagai manusia yang otonom dan sebagai anggota masyarakat. Hal ini juga satu-satunya ideologi yang berkomitmen penuh untuk keadilan sosial, sehubungan dengan  implikasi penyediaan sosial dan politik  'matematika untuk semua', atau lebih baik 'matematika oleh semua', terutama bagi kelompok sosial kurang beruntung (Volmink, 1990). Ini mempromosikan visi  'pendidikan matematika sosialis ' mengajar matematika untuk semua, untuk 'kewarganegaraan dalam masyarakat  teknologi' (Swetz, 1978, halaman 3). Dengan demikian, tujuan pendidik masyarakat memprhatikan pendidikan matematika berdasarkan prinsip sosialis demokratis dan nilai-nilai.

Ini harus dibedakan dari pendidikan matematika dalam 'masyarakat sosialis', yang dijelaskan oleh Swetz, karena dari kontra “ideologi teoritis vs realisasi  praktis" (Howson, 1980). Untuk selain dari kenyataan bahwa tidak ada negara sosialis yang pernah menganut  sepenuhnya tujuan pendidik masyarakat, ada juga risiko bahwa di negara-negara seperti kepentingan individu bisa hilang atau tenggelam dalam pendidikan didorong oleh beberapa pengertian tentang 'baik kolektif' tersebut.

Kedua, perspektif ini hanya untuk mengakomodasi fallibilist atau konstruktivis sosial filsafat matematika, mewakili pemikiran kontemporer terdepan. Akibatnya kurikulum matematika pendidik masyarakat mencerminkan sifat matematika sebagai lembaga sosial, dengan semua kekuatan implikasi pendidikan dari perspektif ini. Peran ras yang berbeda, negara  dan

perempuan dalam penciptaan matematika yang diakui, mengarah pada penolakan mitos kepemilikan laki-laki kulit putih matematika Eropa. Juga, sejarah dan konteks manusia matematika menjadi sangat sentral, menyebabkan kurang mengasingkan dan menakjubkan citra matematika, dan sehingga menimbulkan satu yang lebih humanistik dan ramah. Pengakuan dari falibilitas matematika menyangkal sentralitas dari konsep kebenaran atau kesalahan siswa dalam matematika, yang merupakan kontributor yang kuat untuk sikap negatif dan mathephobia.

Secara keseluruhan, perspektif ini memiliki kekuatan baik dari segi etis dan basis epistemologis, dan terjemahan ini menjadi tujuan pendidikan.

Kelemahan

Perspektif pendidik masyarakat dan tujuan menghadapi sejumlah kelemahan, terutama berkaitan dengan masalah pelaksanaan, tetapi juga karena sejumlah kontradiksi dalam ideologi.

Membuat pendidikan matematika kontroversial

Pertama, terdapat masalah yang kontroversial dari perspektif pendidik masyarakat dan implikasinya terhadap pendidikan. Ini telah diakui oleh seminar ICMI pada matematika sekolah di tahun 1990-an dalam suatu diskusi tentang peran sosial matematika yang membedakan dua pilihan, dan hasil-hasil negatif yang mungkin timbul.

Alternatif 1 Matematika adalah netral, dan yang terbaik diajarkan dalam isolasi dari

perbedatan isu-isu sosial.

...

Alternatif 2 Sejak matematika menopang baik  teknologi  dalam semua

bentuk perwujudan, dan kebijakan yang menentukan bagaimana matematika digunakan, pengajarannya sengaja harus berkaitan dengan isu ini.

Konsekuensi: 1 Hal ini sangat sulit untuk dilakukan. Memang banyak-jika tidak sebagian besar-guru matematika tidak akan melihatnya sebagai bagian dari tugas mereka untuk menyentuh sosial dan perdebatan isu

                       2 Pemerintah cenderung merespon negatif. Ini telah terjadi di beberapa negara yang telah berusaha untuk menyertakan komponen 'tanggung jawab sosial' dalam pengajaran fisika.

(Howson dan Wilson, 1986, halaman 5)

Tujuan pendidik masyarakat, dan nilai-nilai yang mendasari mereka, mewakili sebuah 'politisasi' pendidikan matematika (Noddings, 1987). Untuk penonton dari empat kelompok ideologis lainnya, tujuan ini tidak sesuai dengan kemutlakan filsafat matematika mereka sendiri, yang melihat disiplin sebagai tidak bermasalah, netral dan bebas nilai.

Perspektif ini, oleh karena itu, menyangkal bahwa nilai-nilai sosial dan politik bisa masuk kedalam mengajar matematika murni untuk alasan epistemologis dan pendidikan. Sebaliknya,

pendekatan pendidik masyarakat, dengan sengaja mengobati perdebatan isu-isu sosial dan politik, yang beresiko menjadi terlihat sebagai upaya untuk menumbangkan pendidikan matematika menjadi kegiatan propagandis².   Dalam kasus ekstrim, dapat ditafsirkan sebagai upaya oleh Marxis untuk merendahkan pendidikan matematika menjadi suatu ideologi politik, dengan politik murni (sebagai lawan pendidikan) berakhir dalam pikiran. Seperti persepsi oleh orang tua, administrator pendidikan atau politisi, jika cukup luas, mungkin untuk memimpin intervensi dalam kurikulum matematika.

Pertimbangan ini tidak dapat diabaikan oleh para pendukung kurikulum matematika pendidik masyarakat. Kenyataan bahwa pelaksanaan mungkin akan bertemu dengan kontroversi dan oposisi harus diantisipasi. Dua strategi yang telah diusulkan untuk mengurangi risiko ini adalah dengan menawarkan kursus murni tersebut sebagai pilihan (Abraham dan Bibby, 1988), dan menawarkan itu diluar mainstream sekolah  untuk orang dewasa datang kembali ke pendidikan (Frankenstein, 1989). Respon ini menghindari konfrontasi dengan meminggirkan pendekatan pendidik masyarakat.

Ini seperangkat masalah pertama yang menimbulkan pertanyaan: apakah setiap sistem politik benar-benar ingin kurikulum pendidik masyarakat  untuk mendidik warga negaranya dengan  pertanyaan kritisnya diterbitkan secara statistik, dan asumsi matematis dan model yang mendasari pengambil keputusan politis?

Mengenalkan konflik ke dalam kelas

Area masalah kedua juga konsen dengan kontroversi dan konflik, tetapi dalam kelas. Pengenalan perdebatan isu-isu sosial dan politik, dan dorongan dari siswa mempertanyakan subyek pelajaran, pedagogik  dan assesmen akan dengan desain yang menimbulkan konflik dan kontroversi di dalam kelas. Disamping masalah yang dijelaskan di atas, ini mungkin berbeda secara radikal dari mode mengajar peserta didik telah berpengalaman sebelumnya atau di tempat lain dan dapat meresahkan dan mengganggu peserta didik. Secara Kontroversi, konflik dan argumen rasional tidak hanya hilang dari banyak praktek pendidikan, tetapi juga asing bagi kebanyakan latar belakang budaya peserta didik. Jadi aspek pendekatan pendidik masyarakat ini dapat menyebabkan ketidakcocokan dan krisis bagi peserta didik. Hal ini menimbulkan pertanyaan:   bagaimana secara etis dibenarkan pendekatan konfliktual ini, mengingat akibatnya bagi siswa yang dapat diantisipasi?

Para guru di Inggris memiliki tanggungjawab profesional  untuk bertindak dalam orangtua  gila (loco parentis),  untuk menyediakan pendidikan pribadi, sosial dan moral sebagai tutor dan konselor, dan dengan pribadi contoh. Jadi, misalnya, sejumlah besar anak-anak dari latar belakang emosional tidak stabil  bisa mendapatkan rasa aman dari stabilitas hubungan mereka

dengan guru. Pertanyaan diajukan adalah akankah kurikulum matematika pendidik masyarakat mengancam keamanan anak-anak dan karenanya menyebabkan hasil destruktif sebagai lawan konstruktif ? Tentu jawaban harus tergantung pada konteks spesifik dan implementasi. Namun, mungkin bahwa kurikulum matematika pendidik masyarakat

tidak harus sepenuhnya dilaksanakan sampai dengan tahun terakhir pendidikan, dan bahwa untuk kontroversi pelajar yang lebih muda dan konflik harus dihindari. Di sisi lain,

konflik antara pelajar muda selama jawaban atas masalah matematika merupakan strategi pembelajaran  yang  sangat efektif (Cobb, 1987, Yackel, 1987) .³

Propaganda Kelas

Ketiga, penerimaan isu-isu sosial, budaya dan politik ke dalam kurikulum matematika

membuka pintu untuk pengaruh pada atau manipulasi terang-terangan dari kurikulum 

matematika oleh kelompok komersial dan politik. Dari perspektif ideologi sendiri tujuan pendidik masyarakat untuk pendidikan matematika yang terlihat bersifat demokratis, memberdayakan dan tidak memihak. Namun evaluasi ini tidak sama dengan  posisi ideologi lain, yang mungkin merasa bahwa seperangkat nilai-nilai itu perlu  dipromosikan. Mengingat kesempatan yang diberikan oleh penggabungan isu sosial dan politik ke dalam kurikulum matematika, seperti kelompok, yang mungkin lebih kuat daripada pengelompokan pendidik masyarakat, dapat menumbangkan bertujuan untuk tujuan akhir mereka sendiri.

Sebuah kasus ekstrim disediakan dalam ilmu pengetahuan, dimana usaha yang serius dilakukan oleh kelompok-kelompok fundamentalis Kristen di Amerika Serikat untuk mengganti atau menyeimbangkan pengajaran teori evolusi di sekolah yang sama dengan 'penciptaan ilmu', meskipun tidak  berdiri  secara akademik. Di Inggris, materi kelas dihasilkan untuk sekolah oleh beberapa kelompok komersial, untuk membangun masyarakat misalnya, telah mengkritik untuk mempromosikan kepentingan sektor mereka dengan mengorbankan penawaran pelajar sebuah pandangan yang seimbang secara keseluruhan faktor-faktor komersial yang terlibat (Nasional Konsumen Council, 1986). Jadi politik langsung  dan tekanan komersial pada kurikulum sekolah sudah ada. Sehingga kepentingan kelompok tersebut cenderung untuk melebihkan pengelompokan pendidik masyarakat  dari segi baik kekuasaan politik dan sumber daya keuangan. Dengan demikian, ada risiko bahwa kurikulum matematika pendidik masyarakat akan ditumbangkan dan dieksploitasi oleh kepentingan politik dan komersial, untuk  akhir mereka sendiri .⁴

Kontradiksi

Keempat, terdapat sejumlah kontradiksi, atau mungkin timbul dari kurikulum matematika 

pendidik masyarakat. Beberapa sudah pernah dibahas, seperti konflik versus stabilitas, kepercayaan versus ancaman, dan pemikiran kritis versus indoktrinasi. Tetapi beberapa kontradiksi tetap kuat.

Pemberdayaan pribadi versus keberhasilan ujian: Meskipun kami sebut di atas, harus

diakui bahwa ini adalah sumber konflik yang serius. Ini paralel antara perbedaan 

S-rasional dan I-rasional di bidang pendidikan (Mellin-Olsen, 1987), dan bahwa

antara pemahaman Relasional dan Instrumental (Mellin-Olsen, 1981; Skemp,1976). Penggunaan contoh, prosedur, dan strategi yang tidak langsung berlaku dalam konteks assesmen eksternal dikenakan kemungkinan akan diserang oleh beberapa siswa, orang tua, dan lain-lain didalam dan tanpa sistem pendidikan. Selanjutnya, pendidik masyarakat memiliki tugas untuk kedua tujuan yang bertentangan.

Ethnomathematics vs matematika abstrak: terdapat konflik antara lokasi matematika dalam dunia pengalaman siswa, dan kebutuhan untuk mengajar  matematika teoritis untuk menyediakan alat-alat berpikir yang kuat dari matematika abstrak. Paralel ini konflik antara penanaman sosial dan aplikasi matematika yang relevan dan struktur akademik matematika  dan teori. Sejumlah penulis telah menunjuk bahaya kurikulum 'ghetto' terbatas

(Dewey, 1966; Layton, 1973; Abraham dan Bibby, 1988; Jones, 1989). Memang Gramsci

(1971) berpendapat bahwa pengalaman budaya sempit anak kelas pekerja  merupakan

hambatan bagi pengembangan pemikiran abstrak dan kritis. Masalahnya adalah untuk memindahkan dari sosial atau situasi konkret penanaman matematis untuk konten teoretis mereka, tanpa kehilangan makna dan beralih ke dunia baru, wacana real yang tidak terhubung. Namun, pengamatan Johnson (1989) menunjukkan bahwa hasil yang umum, bahkan dalam gerak terencana dari praktis menuju matematika formal  kelas tunggal.

Tidak ada cara untuk menghindari konflik. Mereka harus diakui dan dibahas dalam setiap kurikulum pendidik masyarakat.